Clerselier III, 252

LETTRE DE MONSIEUR DE FERMAT
à M. de la Chambre touchant la Dioptrique.
A Toulouze le 1. iour de l’An 1662.

LETTRE LI.

MONSIEUR,
Il est iuste de vous obeïr, et de terminer enfin par vostre entremise le vieux demeslé qui a esté depuis si long-temps entre Monsieur Descartes et moy, sur le sujet de la refraction, et peut-estre seray-ie assez heureux pour vous proposer une paix que vous trouverez avantageuse à tous les deux partis.

Ie vous ay dit autrefois dans ma premiere Lettre que M. Descartes n’a iamais demonstré son principe ; Qu’outre que les comparaisons ne servent gueres à fonder des demonstrations, il employe la sienne à contre-sens, et suppose mesme que le passage de la Lumiere est plus aisé par les corps denses que par les corps rares, ce qui est apparemment faux. Ie ne vous dis rien du défaut de la demonstration en elle-mesme, quand bien la comparaison dont il se sert seroit bonne et admissible en cette matiere, pource que i’ay traitté tout cela bien au long dans les Lettres à Monsieur Descartes pendant sa vie, ou dans celles que i’ay écrites à M. Clerselier depuis sa mort. I’adjoûte seulement qu’ayant veu lemesme principe de M. Descartes dans plusieurs Autheurs qui ont écrit apres luy, leurs demonstrations, non plus que la sienne, ne me paroissent point recevables, et ne meritent point de porter ce nom. Herigone se sert pour le demonstrer des equiponderans, et de la raison des poids sur les plans inclinez ; Clerselier III, 253 Le Pere Maignan y veut parvenir d’une autre maniere ; mais il est aisé de voir qu’ils ne demonstrent ny l’un ny l’autre, et qu’apres avoir leu et examiné avec soin leurs demonstrations, nous sommes aussi incertains de la verité du principe, qu’apres avoir leu Monsieur Descartes.

Pour sortir de cét embaras, et tascher de découvrir la veritable raison de la refraction, ie vous indiqué dans ma Lettre, que si nous voulions employer dans cette recherche ce principe si commun et si estably, Que la Nature agit toûjours par les voyes les plus courtes, nous pourrions y trouver facilement nostre compte. Mais parce que nous doutâmes d’abord, que la Nature, en conduisant la Lumiere par les deux costez d’un triangle, puisse iamais agir par une voye aussi courte que si elle la conduisoit par la base, ou par la soustendante, ie m’en vas vous faire voir le contraire de vostre sentiment, ou plustost de vostre doute, par un exemple aisé. Soit en la figure cy-jointe, le cercle ACBG, duquel le Diametre soit AOB, le centre O, et un autre Diametre GOC. Des points G et C, soient tirées les perpendiculaires sur le premier Diametre, GH, CD. Supposons que le premier Diametre AOB separe deux milieux differens, dont l’un qui est celuy de dessous AGB soit le plus dense, et celuy de dessus ACB soit le plus rare, en telle sorte, par exemple, que le passage par le plus rare soit plus aisé que celuy par le plus dense en raison double. Il suit de cette supposition que le temps qu’employe le mobile, ou la Lumiere, de C en O, est moindre que celuy qui les conduit d’O en G ; Et que le temps du mouvement de C en O, qui se fait dans le milieu le plus rare, n’est que la moitié du temps du mouvement d’O en G ; Et par consequent la mesure du mouvement entier par les deux droites CO et OG, peut estre representée par la somme Clerselier III, 254 de la moitié de CO et de la totale OG. De mesme, si vous prenez un autre point comme F, le temps du mouvement par les deux droites CF et FG, peut estre représenté par la somme de la moitié de CF et de la totale FG. Supposons maintenant que le rayon CO soit 10. et par consequent le Diamettre total COG sera 20. Que la droite HO soit 8. la droite OD soit aussi 8. Et qu’enfin la droite OF ne soit que 1. Ie dis qu’en ce cas le mouvement qui se fait par la droite COG, se fera en un temps plus long que celuy qui se fait par les deux costez du triangle CF, FG.

Car si nous prouvons que la moitié de CO jointe à la totale OG, contient plus que la moitié de CF jointe à la totale FG, la conclusion sera manifeste, puisque ces deux sommes font iustement la mesure du temps de ces deux mouvemens ; Or la somme de la moitié de CO et de la totale OG fait iustement 15. et il est evident par la construction que la droite CF est égale à la racine quarrée de 117. et que la droite FG est égale à la racine quarrée de 85. mais la moitié de la premiere racine jointe à la seconde, fait moins que , et sont encore moindres que 15. Donc la somme de la moitié de CF et de la totale FG, est moindre que la somme de la moitié de CO et de la totale OG, et partant le mouvement par les deux droites CF, FG, se fait plustost et en moins de temps, que par la base ou soustendante COG.

Ie suis venu iusques là sans beaucoup de peine, mais il a fallu porter la recherche plus loin ; et parce que pour satisfaire à mon principe, il ne suffit pas d’avoir trouvé un point comme F, par où le mouvement naturel se fait plus viste, plus aisément, et en moins de temps, que par la droite COG, mais qu’il faut encore trouver le point qui fait la conduitte en moins de temps que quelqu’autre que ce soit, pris des deux costez, il m’a esté necessaire d’avoir en cette occasion recours à ma Methode, De Maximis et minimis, qui expedie ces sortes de questions avec assez de succez.

Dés que i’ay voulu entreprendre cette Analyse, i’ay eu deux obstacles à surmonter ; Le premier que bien que ie Clerselier III, 255 fusse assuré de la verité de mon principe, et qu’il n’y ait rien de si probable ny de si apparent que cette supposition, Que la Nature agit tousiours par les moyens les plus aisez, c’est à dire, ou par les lignes les plus courtes, lors qu’elles n’emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus court, afin d’accourcir son travail, et de venir plustost à bout de son operation (ce que le present calcul confirme, dautant plus qu’il paroist par là que la Lumiere a plus de difficulté à traverser les milieux denses que les rares, puisque vous voyez que la refraction vise vers la perpendiculaire dans mon exemple, ainsi que l’experience le confirme, ce qui pourtant est contraire à la supposition de Monsieur Descartes ;) Neantmoins i’ay esté adverty de tous costez, et principalement par Monsieur Petit, que i’estime infiniment, que les experiences s’accordent exactement avec la proportion que Monsieur Descartes a donnée aux refractions ; Et que bien que sa demonstration soit fautive, il est à craindre que ie tenteray inutilement d’introduire une proportion differente de la sienne, et que les experiences, qui se feront apres que i’auray publié mon invention, la pourront détruire sur l’heure ; Le second obstacle qui s’est opposé à ma recherche a esté la longueur et la difficulté du calcul, qui dans la resolution du Probleme dont ie vous parlay dans ma Lettre, et que ie vous témoignois n’estre pas des plus aisez, presente d’abord quatre lignes par leurs racines quarrées, et engage par consequent en des asymmetries qui aboutissent à une tres-grande longueur.

Ie me suis défait du premier obstacle par la connoissance que i’ay qu’il a infinies proportions, differentes de la veritable, qui approchent d’elle si insensiblement, qu’elles peuvent tromper les plus habiles et les plus exacts observateurs. Ainsi n’y ayant que le 2. obstacle à vaincre, ie m’estois resolu tres-souvent d’employer la bien-aimée Geometrie, c’est ainsi que Plutarque l’appelle, pour vous satisfaire, et pour me satisfaire moy-mesme ; Mais l’apprehension de trouver, apres une longue et penible operation, quelque proportion Clerselier III, 256 irreguliere et fantasque, et la pente naturelle que i’ay vers la paresse, ont laissé la chose en cét estat, iusqu’à la derniere semonce que M. le President de Miremont vient de me faire de vostre part, que ie prens pour une Loy, plus forte que ny mon apprehension ny ma paresse ; Si bien que ie me suis resolu de vous obeïr sans autre retardement.

I’ay donc procedé sans remise, en vertu de l’Obedience, comme parlent les Moines, à l’execution de vos Ordres ; Et j’ay fait l’entiere Analyse en forme, dans laquelle le desir passionné que i’ay eu de vous satisfaire m’a inspiré une route qui a abregé la moitié de mon travail, et qui a reduit les quatre asymmetries que i’avois eu en veuë la premiere fois, à deux seulement, ce qui m’a notablement soulagé.

Mais le prix de mon travail a esté le plus extraordinaire, le plus impréveu, et le plus heureux qui fut iamais ; Car apres avoir courru par toutes les equations, multiplications, antitheses, et autres operations de ma Methode, et avoir enfin conclu le Probleme que vous verrez dans un feüillet separé, i’ay trouvé que mon principe donnoit iustement et precisément la mesme proportion aux refractions que Monsieur Descartes a establie.

I’ay esté surpris d’un evenement si peu attendu, que i’ay peine à revenir de mon estonnement ; I’ay reïteré mes operations Algebraïques diverses fois, et tousiours le succez a esté le mesme, quoy que ma demonstration suppose que le passage de la Lumiere par les corps denses soit plus mal-aisé que par les rares ; ce que ie croy tres-vray et indisputable, et que neantmoins Monsieur Descartes suppose le contraire.

Que devons-nous conclure de tout cecy ? Ne suffira-t’il pas, Monsieur, aux amis de Monsieur Descartes que ie luy laisse la possession libre de son Theoreme ? N’aura-t’il pas assez de gloire d’avoir connu les demarches de la Nature dans la premiere veuë, et sans l’aide d’aucune demonstration ? Ie luy cede donc la victoire et le champ de bataille ; Et ie me contente que M. Clerselier me laisse entrer du moins Clerselier III, 257 dans la societé de la preuve de cette verité si importante, et qui doit produire des consequences si admirables.

I’adjoûte mesme en faveur de son amy, qu’il semble que cette grande verité naturelle n’a pas osé tenir devant ce grand Genie, et qu’elle s’est rendüe et découverte à luy sans s’y laisser forcer par la demonstration, à l’exemple de ces places, qui quoy que bonnes d’ailleurs, et de difficile prise, ne laissent pas sur la seule reputation de celuy qui les attaque de se rendre à luy sans attendre le canon.

Ie vous annonce donc, Monsieur, i’annonce à Monsieur Clerselier, et à tous les amis de Monsieur Descartes, qu’il ne tiendra plus à l’incredulité des Geometres, qu’on ne doive attendre ces merveilles que Monsieur Descartes a fait esperer avec raison, de ses Lunette Ellyptiques et Hyperboliques, pourveu qu’on puisse trouver des ouvriers assez habiles pour les faire, et pour les ajuster ;

Il resteroit encore une petite difficulté, que la comparaison de Monsieur Descartes semble produire ; C’est qu’il ne paroist pas encore pourquoy la balle qui est poussée dans l’eau n’approche pas de la perpendiculaire, ainsi que la Lumiere ; Mais outre qu’on pourroit soupçonner que la reflexion se mesle dans cét exemple à la refraction, et que la figure ou la pesanteur peuvent contribuer à la difference de ce mouvement, ie n’ay garde d’entrer dans une matiere purement Physique ; Ce seroit entreprendre sur vous, Monsieur, qui en estes le Maistre, et faire irruption dans vostre domaine. Ie finis donc, apres vous avoir declaré, que ie consens, si vous le trouvez à propos, que l’accommodement entre les Cartesiens et moy soit publié dans les Academies ; Et apres vous avoir conjuré de recevoir au moins l’effet de ma prompte obeïssance, pour une preuve certaine et plus que demonstrative de la passion avec laquelle ie suis,

Si vous persistez tousiours à n’accorder pas un mouvement successif à la Lumiere, et à soûtenir qu’il se fait en un instant, vous n’avez qu’à comparer ou la facilité, ou la Clerselier III, 258 suitte et resistance plus ou moins grande, à mesure que les milieux changent ; Car cette facilité ou cette resistance estant plus ou moins grande en differens milieux, et ce en une proportion diverse, à mesure que les milieux different davantage, elles pourront estre considerées en une raison certaine, et par consequent tomber dans le calcul, aussi bien que le temps du mouvement, et ma demonstration y servira tousiours d’une mesme maniere.

Ie n’ay pas estendu mon operation toute entiere, il n’a pas esté necessaire, puisque ma Methode est imprimée tout au long dans le sixiéme Tome du Cours Mathematique d’Herigone, et que i’en ay assez dit pour estre entendu. Si vous m’ordonnez de parcourir tous les détours de l’Analyse en forme, ie le feray ; Et ie n’auray pas mesme beaucoup de peine à faire la demonstration par la composition, c’est à dire, en parlant le langage d’Euclide.

ANALYSIS AD REFRACTIONES.

Esto circulus ACBI, cuius Diameter ADB separet duo media diversæ naturaæ, quorum rarius sit ex parte ACB, densius ex parte AIB. Ponatur centrum circuli punctum D, in quod incidat radius CD à puncto C dato. Quæritur radius Diaclasticus DI, hoc est punctum I, ad quòd vergit radius refractus.

Ducantur ad Diametrum perpendiculares rectæ CF, HI ; Cum datum sit punctum C, et Diameter AB, nec non et centrum D, datur pariter punctum F, et recta FD.

Clerselier III, 259 Sit ratio mediorum, sive ratio resistentiæ medij densioris, ad resistentiam medij rarioris, ut recta data DF ad datam extrinsecùs M, quæ quidem minor erit recta DF, cum resistentia medij rarioris sit minor resistentiâ medij densioris, ex axiomate plus quam naturali ; Mensurandi ogitur neniunt motus qui fiunt per rectas CD et DI, beneficio rectarum M et DF ; hoc est motus qui fit per duas rectas repræsentatur comparativè per summam duorum rectangulorum, quorum unum fit sub CD et recta M, et alterum sub DI et rectâ DF.

Eò itaque deducitur quæstio, ut ita secetur Diameter AB in puncto H, ut ductâ ab eo perpendiculari HI, et junctâ DI ; summa duorum rectangulorum sub CD et M, et sub DI et DF contineat minimum satium.

Quod ut secundum nostram Methodum, quæ jam apud Geometras invaluit, et ab Herigono in cursu suo Mathematico ante annos plus minus viginti relata est, investigemus ; Radius CD datus vocetur N ; radius DI erit item N, recta DF vocetur B, et ponatur recta DH esse A ; Oportet igitur NM+NB minimam quantitatem.

Intelligatur quævis recta DO, ad libitum sumpta, esse æqualis ignotæ E, et jungantur rectæ CO, OI, quadratum rectæ CO, in terminis Analyticis erit N2+E2-2BE ; quadratum vero rectæ OI, erit N2+E2+2AE, ergo rectangulum sub CO in M, erit in iisdem terminis radix quadrata [M2N2+M2E2-2 M2BE : Rectangulum vero sub OI in B, erit radix quadrata B2N2+B2E2+2B2AE ; Hæc duo rectangula debent ex præceptis Artis adæquaeriduobus rectangulis MN et BN.

Ducantur omnia quadratrice, ut tollatur asymmetria, deinde ablatis communibus, et termino asymmetro ex unâ parte collocato, fiet novus ductus quadraticus ; Quò peracto, demptis communibus, et reliquis per E divisis, ac tandem elisis homogeneis, ab E affectis, iuxta præcepta methodi, quæ dudum omnibus innotuit, et facto parabolismo, fit tandem simplicissima æquatio inter A et M. Hoc est à Clereslier, p. III, 260 primo ad ultimum ; et ruptis omnibus asymmetriarum obicibus, recta DH, in figura, sit æqualis rectæ M. Unde patet punctum Diaclasticum ita inveniri, si ductis rectis CD et CF, fiat ut resistentia medij densioris ad resistentiam mrdij rarioris, sive ut B ad M, ita recta FD ad rectam DH ; Et à puncto H excitetur recta HI, ad Diametrum perpendicularis, et circulo occurrens in puncto I, quo refractio vergit ; Ideoque radius à medio raro ad densum pertingens frangetur versùs perpendicularem. Quod congruit omnino et generaliter invento Theoremati Cartesiano, cujus accuratissimam demonstrationem, à principio nostro devivatam, exhibet superior Analysis.

Proposuit Doctissimus Cartesius refractionum rationem, experentiæ ut aiunt consentaneam, sed, eam ut demonstraret, postulavit, et necesse omnino fuit ipsi concedi, Luminis motum faciliuùs et expeditiùs fieri per media densa quam per rara ; quod Lumini ipsi naturali adversari videtur.

Nos itaque dum à contrario axiomate (motum nempe Luminis faciliùs et expeditiùs per media rara quam per densa procedere) veram refractionum rationem deducere tentamus ; In ipsam tamen Cartesij proportionem incidimus ; An autem contrariâ omnino viâ eidem veritati occurri possit ἀὧξαλογίσως, videant et inquirant subtiliores et severiores Geometræ. Nos enim missâ Matæothecniâ satiùs exisimamus veritate ipsâ indubitanter potiri, quam superfluis et frustratoriis contentionibus et iurgiis diutiùs inhærere.

Demonstratio nostra unico nititur postulato ; Naturam operari per modos et vias faciliores et expeditiores ; ita enim ἀίτημα concipiendum censemus, non ut plerique, naturam per lineas brevissimas semper operari. Ut enim Galilæus, dum motum naturalem gravium speculatur, rationem ipsius non tam spatio quam tempore metitur, pari ratione non brevissima statias aut lineas, sed quæ expeditiùs, commodiùs, et breviori tempore percurri possint, consideramus.

Hoc suppositio, supponantur duo media diversæ naturæ in primâ figurâ, in qua circulus AHBM, cuius Diameter Clerselier III, 261 ANB separat duo illa media, quorum unum à parte M, est rariùs, alterum à parte H est densiùs ; Et à puncto M versùs H, inflectantur quælibet rectæ MNH, MRH, occurrentes Diametro in punctis N et R. Cum velocitas mobilis per MN, quæ est in medio raro, sit major, ex axiomate, aut postulato, velocitate eiusdem mobilis per NH, et motus supponantur uniformes, in quolibet videlicet medio, ratio temporis motus per MN, ad rationem temporis motus per NH componitur, ut notum est omnibus, ex ratione MN ad NH, et ex reciprocâ ratione velocitatis per NH ad velocitatem per MN.

S fiat igitur ut velocitas per MN ad velocitatem per NH, ita recta MN ad NI ; tempus motus per MN ad tempus motus per NH, erit ut IN ad NH.

Pari ratione demonstrabitur, si fiat ut velocitas per medium rariùs ad velocitatem per medium densiùs, ita MR ad RP, tempus motus per MR ad tempus motus per RH, esse ut PR ad RH. Unde sequitur tempus motus per duas MN, Clerselier III, 262 NH, esse ad tempus motus per duas MR, RH, ut summam duarum IN, NH, ad summam duarum PR, RH.

Cum igitur Natura lumen à puncto M versùs punctum H dirigat, debet investigari punctum, ut N, per quod, per inflexionem aut refractionem, brevissimo tempore à puncto M ad punctum H perveniat. Probabile namque est naturam, quæ operationes suas quam citissimè urget, eò sponte collimaturam. Si itaque summa rectarum IN, NH, quæ est mensura motus, per inflexam MNH, sit minima quantitas, constabit propositum.

Hoc autem ex Theoremate Cartesiano deduci vera non fucata Geometria statim demonstrabit.

Proponit quippe Cartesius, si à puncto M, ducatur radius MN, etab eodem puncto M demittatur perpendicularis MD, fiat autem ut velocitas major ad minorem, ita DN ad NS ; à puncto autem S excitetur perpendicularis SH, et jungatur radius NH, lumen à medio raro in punctum N incidens, refringi in superficiè medij densi versùs perpendicularem ad punctum H. Huic vero Theoremati Geometria nostra, ut constabit ex sequenti propositione purè Geometricâ, non refragatur.

Esto circulus AHBM cuius Diameter ANB, centrum N, in cuius circumferentiâ sumpto quovis puncto M, jungatur radius MN, et demittatur in Diametrum perpendicularis MD ; Detur pariter ratio DN ad NS, et fit DN major ipsâ NS ; à puncto S, excitetur ad Diametrum perpendicularis SH, occurrens circumferentiae in puncto H, a quo jungatur centro N radius HN ; Fiat ut DN ad NS, ita radius MN ad rectam NI ; Aio summam rectarum IN, NH esse minimam, hoc est, si sumatur exempli gratia quodlibet punctum R, ex parte Semidiametri NB, et jungantur rectae MR, RH, fiat autem ut DN ad NS, ita MR ad RP, summam rectarum PR et RH esse majorem summâ rectarum IN et NH. Quod ut demonstremus, fiat ut radius MN ad rectam DN, ita recta RN ad rectam NO, et ut DN ad NS, ita fiat NO ad NV. Ex constructione Clerselier III, 263 pater rectam NO minorem esse rectâ NR ; quia recta DN minor est radio MN ; Patet etiam rectam NV minorem esse rectâ NO, cum recta NS minor rectâ ND. His positis, quadratum rectæ MR æquatur quadratoradij MN, quadrato rectæ NR et rectangulo sub DN in NR bis, ex Euclide ; Sed cum fit ex constructione, ut MN ad DN, ita NR ad NO ; Ergo rectangulum sub MN in NONo bis æquatur rectangulo sub DN in NR ; Ideoque rectangulum sub MN in NO, bis æquatur rectangulo sub DN in NR bis. Quadratum igitur rectæ MR æquatur quadratis MN et NR et rectangulo sub MN in NO bis. Quadratum autem rectæ NR est majus quadrato rectæ NO, cum recta sit major rectâ NO. Ergo quadratum rectæ MR est majus quadratis rectarum MN, NO, et rectangulo sub MN in NO, bis. At hæe duo quadrata MN, NO, unâ cum rectangulo sub MN in NO, bis, sunt æqualia quadrato quod sit ab MN, NO tanquam ab unâ rectâ ; Ergo recta MR est major summâ duarum rectarum Clerselier III, 264 MN et NO. Cum autem ex constructione sit ut DN ad NS, ita MN ad NI, et ita NO ad NV ; ergo erit ut DN ad NS, ita summâ rectarum MN, NO, ad summam rectarum IN et NV. Est autem etiam ut DN ad NS, ita MR ad RP ; Ergo ut summa rectarum MN, NO, ad summam rectarum IN, NV, ita recta MR ad RP. Est autem recta MR major summâ rectarum MN, NO ; Ergo recta PR est major summâ rectarum IN, NV. Superest probandum rectam RH, esse majorem rectâ HV, quo peracto constabit summam rectarum PR, RH esse majorem summâ rectarum IN, NH. In triangulo NHR, Quadratum RH æquatur quadratis HN, NR, mulctatis rectangulo sub S N in NR, bis, ex Euclide ; Cum autem sit ex constructione ut MN radius, sive NH ipsi æqualis, ad DN, ita NR ad NO ; ut autem DN ad NS, ita NO ad NV ; Ergo ex æquo erit ut HN ad NS, ita NR ad NV. Rectangulum ergo sub HN in NV æquale est rectangulo sub NS in NR ; Ideoque rectangulum sub HN in NV, bis, æquatur rectangulo sub NS in NR bis. Quare quadratum HR æquatur quadratis HN, NR, mulctatis rectangulo HN, NV, bis. Quadratum vero NR probatum est majus esse quadrato NV ; Ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV, mulctatis rectangulo HN, NV bis ; Sed quadrata HN, NV mulctata rectangulo HN, NV bis, æqualia sunt ex Euclide, quadrato rectæ HV ; Ergo quadratum HR quadrato HV majus est ; Ideoque recta HR, major rectâ HV ; quod secundo loco fuit probandum. Quod si punctum R sumatur ex parte Semidiametri AN, licet rectæ MR, RH sint in directum, et rectam lineam constituant, ut in secunda figura (demonstratio enim est generalis in quolibet casu) idem continget ; Hoc est rectarum PR, RH summa, erit Clerselier III, 265 major summâ rectarum IN, NH. Fiat ut suprà, ut MN radius ad DN, ita RN ad NO ; Et ut DN ad NS, ita NO ad NV ; Patet rectam RN esse majorem rectâ NO, rectam vero NO esse majorem rectâ NV ; Quadratum MR æquatur quadratis MN, NR mulctatis rectangulo DNR bis, sive ex superiori ratiocinio rectangulo MNO bis. Cum autem quadratum NR sit majus quadrato NO ; Ergo quadratum MR erit majus quadratis MN, NO, mulctatis rectangulo MNO, bis. Sed quadrata MN, NO mulctata rectangulo MNO, bis, æquatur quadrato rectæ MO ; Ergo quadratum rectæ MR quadrato rectæ MO majus erit ; Ideoque rectâ MR erit etiam major rectâ MO. Cum autem sit ex constructione ut DN ad NS, ita MN ad IN, et ita NO ad NV ; Ergo ut MN ad IN ita erit NO ad NV, et vicissim ut MN ad NO ita erit IN ad NV ; Et dividendo ut MO ad ON ita IV ad VN, et vicissim ut MO ad IV ita ON ad NV, sive DN ad NS, sive MR ad RP. Probatum est autem MR ipsâ MO esse majorem ; Ergo PR rectâ IV major erit. Superest ergo probandum, (ut ex omni parte constet propositum) rectam RH esse majorem summâ duarum rectarum HN et NV, quod ex prædictis est facillimum. Quadratum enim RH æquatur quadratis HN, NR unà cum rectangulo sub SN in NR bis, sive ex prædemonstratis unà cum rectangulo sub HN in NV bis. Quadratum autem NR est majus quadrato NV ; Ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV, unà cum rectangulo sub HN in NV bis. Unde sequitur rectam RH ex superiùs demonstratis esse majorem summâ rectarum HN, NV. Patet Itaque rectas PR, RH, sive unicam rectam PRH, (quando id contingit) esse semper majores duadus rectis IN, NH. Quod erat demonstrandum.

Clerselier III, 266 ANALYSE POUR LES REFRACTIONS.

VERSION.

Soit le cercle ACBI, dont le Diametre AD B separe deux milieux de diverse nature, le plus rare desquels soit du costé ACB, et le plus dense du costé AIB. Que le centre du cercle soit D, où tombe le rayon CD du point donné C ; Il est question de chercher le rayon Diaclastique DI, c’est à dire, de trouver le point I, où tend le rayon rompu.

Pour le faire soient menées sur le Diametre les deux lignes droites perpendiculaires CF, IH. Et puisque le point C est donné, avec le Diametre AB, et le centre D, le point F est aussi donné, et la ligne droite FD.

De plus, que la raison des milieux, c’est à dire, que la raison de la resistance du milieu le plus dense soit à la resistance du milieu le plus rare, comme la ligne droite donnée DF à une autre mise hors le cercle, à sçavoir, M, laquelle sera plus petite que la ligne droite DF, puisque par une raison plus que naturelle la resistance du milieu le plus rare est moindre que celle du plus dense

Nous avons donc à mesurer les mouvemens qui se font par les lignes droites CD et DI, par le moyen des deux lignes droites M et DF, c’est à dire, que le mouvement qui se fait par les deux lignes droites CD et DI, est representé par la somme de deux rectangles, dont l’un est contenu sous les lignes CD et M, et l’autre sous les lignes DI et DF.

Clerselier III, 267 La question se reduit donc à ce point, de coupper tellement le Diametre AB au point H, qu’ayant mené de ce point-là la perpendiculaire HI, et ayant joint du centre D au point I la ligne DI, il arrive que la somme des deux rectangles sous CD et M, et sous DI et DF contienne le moindre espace.

Et afin d’en venir à bout par nostre Methode, qui a desia eu cours parmy les Geometres, et qu’Herigone a rapportée dans le sixiéme Tome de son Cours Mathematique, il y a prés de vingt ans.

Que le rayon CD qui est donné soit nommé N, le rayon DI sera aussi N ; Que la droite DF soit nommée B, et soit supposé que la ligne droite DH soit A ; Il faut donc que NM+NB soit la moindre quantité.

Concevons que la ligne droite DO prise à discretion est égale à l’inconnuë E, puis joignons les deux lignes droites CO, OI. Le quarré de la ligne droite CO, parlant en termes Analytiques sera N2+E2–2BE ; et le quarré de la droite OI, sera N2+E2+2AE, par consequent le rectangle contenu sous les deux lignes CO et M, sera selon ces mesmes termes Analytiques la racine quarrée de M2N2+M2E2–2M2 BE ; Et le rectangle contenu sous les deux lignes OI et B sera la racine quarée de B2 N2+B2E2+2B2AE. Or ces deux rectangles doivent selon les preceptes de l’Art, estre égaux aux deux rectangles MN et BN.

Apres cela il faut quarrer le tout, afin d’en oster l’asymmetrie, et apres avoir retranché les termes communs, et avoir mis d’un costé le terme asymmetrique, on quarrera derechef le reste ; Apres quoy, ayant osté les termes communs, et divisé les autres par E, et ayant enfin retranché les termes Homogenes qui sont affectez de la lettre E, selon les preceptes de nostre Methode, qui est connuë depuis long-temps de tout le monde, puis ayant fait un parabolisme, il arrive enfin une equation tres-simple entre A et M. C’est à dire, que depuis le premier iusqu’au dernier, et ayant Clerselier III, 268 osté tous les obstacles des asymmetries, il se trouve enfin que la ligne droite DH dans la figure est égale à la ligne droite M.

D’où l’on voit que le point Diaclastique se trouve de la sorte. Si apres avoir mené les deux lignes droites CD et CF, l’on fait que comme la resistance du milieu dense est à la resistance du milieu rare, ou bien comme B est à M, ainsi la droite FD soit à la droite DH, et que du point H, l’on éleve sur le Diametre la perpendiculaire HI, qui rencontre le cercle au point I ; Ce point sera celuy où le refractionla refraction portera le rayon. Et partant le rayon passant d’un milieu rare dans un dense, se rompra en approchant de la perpendiculaire. Ce qui s’accorde entierement et generalement avec le Theoreme de Monsieur Descartes, dont nostre Analyse a fait voir la demonstration tres exacte tirée de nostre principe.

Monsieur Descartes tres-sçavant Geometre a proposé une raison des refractions, laquelle à ce que l’on dit est conforme à l’experience ; Mais pour en faire la demonstration, il a demandé qu’on luy accordast, et on a esté obligé de le faire, Que le mouvement de la Lumiere se faisoit plus facilement et plus viste par un milieu dense que par un rare ; Ce qui toutesfois semble contraire à la Lumiere naturelle. Or cela nous ayant porté à tascher de deduire la vraye raison des refractions, d’un axiome tout contraire, sçavoir est, Que le mouvement de la Lumiere se fait plus facilement et plus viste par un milieu rare que par un dense, il est arrivé neantmoins que ie suis tombé dans la mesme proportion que Monsieur Descartes. Cependant ie laisse aux plus subtils et severes Geometres à voir si l’on peut par une voye toute opposée rencontrer la mesme verité sans tomber dans le Paralogisme ; Car pour moy, pour parler sans feintise, i’aime beaucoup mieux connoistre certainement la verité, que de m’arrester plus long-temps à des debats et contentions superfluës et inutiles.

La demonstration que i’avance est appuyée sur ce seul Clerselier III, 269 postulat ou fondement, sçavoir est : Naturam per vias breviores operari. C’est à dire, que la Nature agit par les moyens ou les voyes les plus faciles et les plus promptes ; Car c’est ainsi que i’estime que l’on doit entendre cét axiome, et non pas comme font plusieurs, Que la Nature agit tousiours par les lignes les plus courtes.

Car tout de mesme que quand Galilée examine le mouvement naturel des corps pesans, il ne le mesure pas tant par l’espace que par le temps ; De mesme ie ne considere point icy l’espace plus petit ou la ligne la plus courte, mais ce qui se peut parcourir plus promptement, plus commodément, et en moins de temps.

Cela posé, supposons deux milieux de diverse nature dans cette premiere figure, et que le Diametre ANB du cercle AHBM separe ces deux milieux, dont l’un qui est du costé de M soit le plus rare, et l’autre qui est du costé de H soit le plus dense ; et du point M vers H soient menées les lignes droites MN, NH, MR, RH, qui se rompent Clerselier III, 270 dans le Diamettre aux points N et R. Puisque la vitesse du mobile par le milieu MN, qui est supposé rare, est plus grande, selon nostre axiome ou postulat, que celle du mesme mobile par le milieu NH, et que les mouvemens sont supposez uniformes dans chacun de ces milieux, la raison du temps du mouvement par le milieu MN, au temps du mouvement par le milieu NH, est composée, comme tout le monde sçait, de la raison de l’espace MN à l’espace NH, et reciproquement de la raison de la vitesse par le milieu NH à la vitesse par le milieu MN.

Si donc l’on fait que comme la vitesse par le milieu MN est à la vitesse par le milieu NH, ainsi la ligne droite MN est à NI ; Le temps par le milieu MN au temps par le milieu NH sera comme IN à NH.

De mesme l’on demonstrera que si l’on fait que comme la vitesse par le milieu plus rare est à la vitesse par le milieu plus dense ainsi la ligne MR est à RP, le temps du mouvement par le milieu MR sera au temps du mouvement par le milieu RH comme la ligne PR est à la ligne RH.

D’où il suit que le temps du mouvement par les deux lignes MN, NH, est au temps du mouvement par les deux autres MR, RH, comme l’agregé des deux lignes IN, NH, est à l’agregé des deux autres PR, RH.

Quand donc la Nature dirige un rayon de Lumiere du point M vers le point H, il faut chercher un point quel qu’il soit, comme N, par lequel la Lumiere puisse parvenir par inflexion ou refraction du point M au point H en moins de temps. Car il est tres probable que la Nature qui avance tousiours le plus qu’elle peut ses operations tendra d’elle-mesme vers ce point là. Si donc l’agregé ou la somme des deux lignes droites IN, NH, qui est la mesure du temps du mouvement par la ligne rompuë MNH, se trouve estre la moindre quantité, on aura ce que l’on cherche.

Or cela suit du Theoreme proposé par Monsieur Descartes, comme je va vous faire voir par bonne Geometrie.

Car Monsieur Descartes dit que si du point M on mene Clerselier III, 271 le rayon MN, et que du mesme point M on abbaisse la perpendiculaire MD, et si avec cela l’on fait que comme la plus grande vitesse est à la moindre, ainsi la ligne DN est à NS, et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH, et mené le rayon NH, pour lors le rayon de lumiere, qui vient du milieu rare M au point N, se rompt à la rencontre du milieu dense, et va au point H, en approchant de la perpendiculaire.

Or nostre Geometrie ne repugne en façon quelconque à ce Theoreme, comme l’on verra par la proposition suivante, qui est purement Geometrique.

Soit le cercle AHBM sont le Diametre soit ANB, le centre N, dans la circonference duquel ayant pris un point à discretion comme M, soit mené le rayon MN, et soit abbaissée sur le Diametre la perpendiculaire MD ; que l’on sçache outre cela la proportion qui est entre le plus ou moins de facilité que les differens milieux donnent au passage de la lumiere, et qu’ainsi l’on fasse DN à NS. Que DN Clerselier III, 272 soit plus grande que NS, et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH, qui rencontre la circonference du cercle au point H, duquel soit mené au centre le rayon HN ; Puis soit fait comme DN est à NS, ainsi le rayon MN soit à la ligne droite NI. Ie dis que la somme des deux lignes droites IN, NH, qui est la mesure du temps par les deux lignes MN, NH, comme il a esté prouvé cy-dessus, est la moindre de toutes ; C’est à dire, que si par exemple l’on prend un point tel que l’on voudra comme R, du costé du Semidiametre NB, et si l’on joint les deux lignes droites MR, RH, et que l’on fasse que comme DN est à NS ainsi MR soit à RP, pour lors la somme des deux droites PR et RH, qui est aussi la mesure du temps par les deux lignes MR, RH, comme il a esté aussi prouvé cy-dessus, sera plus grande que la somme des deux autres droites IN et NH.

Or pour le prouver, soit fait comme le rayon MN est à DN, qu’ainsi RN soit à NO ; et comme DN est à NS, qu’ainsi NO soit à NV. Il paroist par la construction que la ligne NO est plus petite que la ligne NR, dautant que la ligne DN est plus petite que le rayon MN ; Il est evident aussi que la ligne NV, est plus petite que la ligne NO, puisque la ligne NS est moindre que la ligne ND.

Cela estant posé, le quarré de la ligne MR est égal au quarré du rayon MN, plus au quarré de la ligne NR, et à deux fois le rectangle sous DN et NR par la 12. du 2. Mais puisque par la construction, comme MN est à DN, ainsi NR est à NO ; Il s’ensuit que le rectangle fait de MN, NO, est égal au rectangle de DN, NR, par la 16. du 6. Et partant le rectangle de MN, NO, pris deux fois, est égal à deux fois le rectangle DN, NR.

Par consequent le quarré de la ligne MR est égal aux deux quarrez MN, et NR, et à deux fois le rectangle sous MN, NO. Or le quarré de la ligne NR est plus grand que le quarré de la ligne NO, puisque NR est plus grand que NO. Partant le quarré de la ligne MR est plusand que les deux quarrez MN, NO avec deux fois le rectangle sous MN, NO. Or est-il que ces deux quarrez MN, NO avec deux fois le rectangle sous MN, NO sont égaux au quarré qui est fait des deux lignes MN, NO comme d’une seule ligne droite, par la 4. du 2. Donc la ligne droite MR est plus grande que la somme des deux lignes droites MN et NO.

Mais puisque par la construction comme DN est à NS, ainsi MN est à NI, et ainsi aussi NO est à NV, partant comme DN est à NS, ainsi sera la somme des deux lignes MN, NO à la somme des deux lignes IN, NV, par la 12. du 5. Or comme DN est à NS, de mesme aussi MR est à RP ; Par consequent comme la somme des deux lignes MN, NO est à la somme des deux lignes IN, NV, ainsi la ligne MR est à RP. Or est-il que la ligne MR est plus grande que la somme des deux lignes MN, NO, par consequent la ligne PR est aussi plus grande que la somme des deux lignes IN, NV, par la 14. du 5.

Il ne reste plus qu’à prouver que la ligne RH est plus grande, ou du moins n’est pas plus petite que la ligne HV, apres quoy il sera constant que la somme des deux lignes droites PR, RH est plus grande que la somme des deux lignes droites IN, NH.

Dans le triangle NHR, le quarré RH est égal aux deux quarrez HN et NR, moins deux fois le rectangle sous SN, NR par la 13. du 2. Mais puisque par la construction, comme le rayon MN, ou son égale NH est à DN, ainsi NR est à NO ; et que comme DN est à NS, ainsi NO est à NV ; Il s’ensuit qu’en raison égale comme HN est à NS, ainsi NR est à NV, par la 22. du 5 ; où l’on voit que NR est plus grande que NV. Et partant le rectangle des deux lignes HN et NV est égal au rectangle de SN et NR, par la 16. du 6. Par consequent le rectangle sous HN et NV pris deux fois est égal à deux fois le rectangle sous SN et NR. C’est pourquoy le quarré Clerselier III, 274 de HR est égal aux deux quarrez HN, NR, moins deux fois le rectangle sous HN, NV. Mais le quarré NR a esté prouvé plus grand que le quarré NV, partant le quarré HR est plus grand que les deux quarrez HN, NV moins deux fois le rectangle sous HN, NV. Mais les deux quarrez HN, NV, moins deux fois le rectangle sous HN, NV, sont égaux, au quarré de la droite HV, par la 7. du 2. Par consequent, le quarré de HR est plus grand que le quarré de HV, et partant la ligne HR est plus grande que la ligne HV. Ce qui nous restoit à prouver.

Que si l’on prend le point R du costé du Semidiametre AN, quoy que les deux lignes droites MR et RH se rencontrent directement, et ne constituent qu’une seule ligne droite, comme dans la seconde figure, la mesme choses arrivera (car la demonstration est generale, et pour toute sorte de cas) c’est à dire, que la somme des deux lignes droites PR, RH sera plus grande que la somme des deux lignes droites IN, NH. Et pour le prouver, soit fait comnme cy-devant comme le rayon MN est à la ligne DN, ainsi RN soit à NO, et comme DN est à NS, ainsi NO soit à NV. Il est evident que la ligne RN est plus grande que NO, et que la ligne NO est plus grande que NV. De plus, le quarré MR est égal aux deux quarrez MN, NR, moins deux fois le rectangle sous DN, NR par 13. de 2. ou bien comme il a esté prouvé cy-dessus, moins deux fois le rectangle MN, NO.

Mais puisque le quarré NR est plus grand que le quarré NO, il s’ensuit que le quarré MR sera plus grand que les deux quarrez MN, NO, moins deux fois le rectangle fait Clerselier III, 275 sous MN, NO. Or est-il que les deux quarrez MN, NO moins deux fois le rectangle fait sous MN, NO, sont égaux au quarré de la ligne MO par la 7. du 2. Par consequent le quarré de la ligne MR est plus grand que le quarré de la ligne MO, et partant aussi la ligne MR est plus grande que la ligne MO.

Mais puisque par la construction, comme DN est à NS, ainsi MN est à NI, et ainsi aussi NO est à NV ; Donc comme MN est à IN, ainsi NO est à NV ; Et en permutant, comme MN est à NO, ainsi IN est à NV. Et en divisant, comme MO est à ON, ainsi IV est à VN ; Et en permutant, comme MO est à IV, ainsi ON est à NV, ou DN à NS, ou MR à RP.

Or l’on a prouvé auparavant que MR estoit plus grande que MO, donc PR est aussi plus grande que IV. Partant il ne reste plus qu’à prouver, afin que la preuve soit entiere, sinon que la droite RH est plus grande, ou du moins n’est pas plus petite, que la somme des deux lignes droites HN, NV, ce qui n’est pas difficile.

Car le quarré RH est égal aux deux quarrés de NH et NR joints à deux fois le rectangle sous SN et NR, ou bien par ce qui a esté prouvé cy-devant, joints à deux fois le rectangle sous HN et NV ; Mais le quarré RN est plus grand que le quarré NV, donc le quarré HR est plus grand que les deux quarrez HN et NV, avec deux fois le rectangle sous HN et NV ; Mais le quarré de HN, NV, comme une seule ligne droite, est égal aux deux quarrez de HN, NV, avec deux fois le rectangle sous HN, NV, par la 4. du 2. Donc le quarré de HR est plus grand que le quarré de HN, NV, comme une seule ligne ; Et partant la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites, HN, NV, ce qui restoit à prouver. D’où il suit, par ce qui a esté monstré cy-devant, que la ligne droite HR est plus grande que la somme des deux lignes droites HN, NV.

Partant il est evident que les deux lignes droites PR et Clerselier III, 276 RH, ou la seule ligne droite PRH (quand il arrive que ce ne soit qu’une seule ligne droite) sont tousiours plus grandes que les deux lignes droites IN et NH ; ce qu’il falloit demonstrer.