LETTRE LXXX.

AT IV, 38 MADAME,
Ayant sceu de Monsieur de Pollot que Vostre Altesse a pris la peine de chercher la question dedes trois cercles, et qu’elle a trouvé le moyen de la soudre, en ne supposant qu’une quantité inconnuë, i’ay pensé que mon devoir m’obligeoit de mettre icy la raison pourquoy i’en avois proposé plusieurs, et de quelle façon ie les demesle.

I’observe tousiours en cherchant une question de Geometrie, que les lignes, dont ie me sers pour la trouver soient paralleles, ou s’entrecouppent à angles droits le plus qu’il est possible ; et ie ne considere point d’autres Theoremes, sinon que les costez des triangles semblables ont semblable proportion entr’eux, et que dans les triangles rectangles le quarré de la base est égal aux deux quarrez des costez ; Et ie ne crains point de supposer plusieurs quantitez inconnuës pour reduire la question à tels termes, qu’elle ne depende que de ces deux Theoremes ; au contraire, i’aime mieux en supposer plus que moins ; Car par ce moyen ie voy plus clairement tout ce que ie fais, et en les demeslant ie trouve mieux les plus courts chemins, et m’exempte de multiplications superfluës ; au lieu que si l’on tire d’autres lignes, et qu’on se serve d’autres Theoremes, bien qu’il puisse arriver par hazard, que le chemin qu’on trouvera soit plus court que le mien, toutesfois il arrive quasi toûiours Clerselier III, 462 le contraire, et on ne voit point si bien ce qu’on fait, si AT IV, 39 ce n’est qu’on ait la demonstration du Theoreme dont on se sert fort presente en l’esprit ; et en ce cas on trouve quasi tousiours qu’il depend de la consideration de quelques triangles, qui sont ou rectangles, ou semblables entr’eux, et ainsi on retombe dans le chemin que ie tiens.

Par exemple, si on veut chercher cette question des trois cercles par l’aide d’un Theoreme, qui enseigne à trouver l’aire d’un triangle par ses trois costez, on n’a besoin de supposer qu’une quantité inconnuë ; Car si A, B, C, sont les centres des trois cercles donnez, et D le centre du cherché, les trois costez du triangle ABC sont donnez, et les trois lignes AD, BD, CD sont composées des trois rayons des cercles donnez, joints au rayon du cercle cherché, si bien que supposant x pour ce rayon, on a tous les côtez des triangles ABD, ACD, BCD ; et par consequent on peut avoir leurs aires, qui jointes ensemble, sont égales à l’aire du triangle donné ABC ; et on peut par cette équation venir à connoissance du rayon x, qui seul est requis pour la solution de la question ; Mais ce chemin me semble conduire à tant de multiplications superfluës, que ie ne voudrois pas entreprendre de les demesler en trois mois. C’est pourquoy au lieu des deux lignes obliques AB et BC, ie mene les trois perpendiculaires BE, AT IV, 40 DG, DF, et posant trois quantitez inconnuës, l’une pour DF, l’autre pour DG, et l’autre pour le rayon du cercle cherché, i’ay tous les costez des trois triangles rectangles ADF, BDG, CDF, Clerselier III, 463 qui me donnent trois équations, pour ce qu’en chacun d’eux le quarré de la base est égal aux deux quarrez des costez.

Apres avoir ainsi fait autant d’équations que i’ay supposé de quantitez inconnuës, ie considere si par chaque équation i’en puis trouver une en termes assez simples ; et si ie ne le puis, ie tasche d’en venir à bout en joignant deux ou plusieurs équations par l’addition ou soustraction ; et enfin lors que cela ne suffit pas, i’examine seulement s’il ne sera point mieux de changer les termes en quelque façon ; Car en faisant cét examen avec addresse, on rencontre aisément les plus courts chemins, et on peut essayer une infinité en fort peu de temps.

Ainsi, en cét exemple ie suppose que les trois bases des triangles rectangles sont

Et faisant AE||d-z, BE||e, CE|| f, DF ou GE||y, DG ou FE||z, AT IV, 41 i’ay pour les costez des mesmes triangles.

Puis faisant le quarré de chacune de ces bases égal au quarré des deux costez, i’ay les trois équations suivantes.

Et ie voy que par l’une d’elles toute seule ie ne puis trouver Clerselier III, 464 aucune des quantitez inconnuës sans en tirer la racine quarrée, ce qui embarrasseroit trop la question. C’est pourquoy ie viens au second moyen, qui est de joindre deux équations ensemble, et i’apperçois incontinent que les termes xx, yy et zz estant semblables en toutes trois, si i’en oste une d’une autre, laquelle ie voudray, ils s’effaceront, et ainsi ie n’auray plus de termes inconnus que x, y et z tous simples ; Ie voy aussi que si i’oste la seconde de la premiere ou de la troisiéme, i’auray tous ces trois termes x, y et z ; mais que si i’oste la premiere de la troisiéme ie n’auray que x et z, ie choisis donc ce dernier chemin, et ie trouve . ou bien ou bien

AT IV, 42 Puis ostant la seconde équation de la premiere ou de la troisiéme (car l’un revient à l’autre) et au lieu de z, mettant les termes que ie viens de trouver, i’ay par la premiere et la seconde , ou bien ou bien

Enfin retournant à l’une des trois premieres équations, et au lieu d’y ou de z, mettant les quantitez qui leur sont égales, et les quarrez de ces quantitez pour yy et zz, on trouve une équation où il n’y a que x, et xx inconnus ; de façon que le Probleme est plan, et il n’est plus besoin de passer outre ; Car le reste ne sert point pour cultiver ou recréer l’esprit, mais seulement pour exercer la patience de quelque calculateur laborieux. Mesme i’ay peur de m’estre rendu icy ennuyeux à Vostre Altesse, pour ce que ie me suis arresté à écrire des choses qu’elle sçavoit sans doute mieux que moy, et qui sont faciles ; mais qui sont neantmoins les Clerselier III, 465 clefs de mon Algebre, ie la supplie tres-humblement de croire que c’est la devotion que i’ay à l’honorer qui m’y a porté, et que
ie suis,
MADAME,
De V. A.
Le tres-humble et tres-obeïssant serviteur, DESCARTES.