AT V, 255
MONSIEUR,
Ie ne vous sçaurois commodément envoyer la proposition que vous me demandez, parce qu’il ne m’en souvient presque plus, et que ie suis occupé à d’autres pensées ; C’est pourquoy ie vous supplie de m’en dispenser, et ie vous l’envoyerois tres-volontiers, si vous ne la demandiez que pour vous seul ; Mais parce que vous la voudriez faire imprimer, ie vous diray icy franchement que ie suis trop mal satisfait de certains Geometres, pour leur vouloir plus rien apprendre. Tout le meilleur qu’ils sçavent vient presque de moy, et neantmoins ils veulent persuader aux ignorans qu’il n’y a personne qui les égale. Ie vous prie si vous écrivez à Monsieur de Carcavi, de le remercier de ma part du souvenir qu’il a de moy, et de l’offre qu’il me fait, de m’envoyer le Livre d’Italie qui traitte du vuide ; ie ne voudrois pas luy en donner la peine, mais si nous en avions le titre, peut-estre que nous le trouverions chez les Libraires d’icy ; Et s’il luy plaist de le faire voir à Monsieur l’Abbé Picot, ie pourray apprendre de luy ce qu’il contient.
Clerselier III, 473
Voicy maintenant le billet de M. de Fermat.
Asymmetrias in Algebraicis omnino tollere, opus arduum nec satis hactenus ab Analystis tentatum.
Dentur, verbi gratia, termini asymmetri plures quatuor, et secundum Artis præcepta proponantur asymmetria liberandi. Vix est ut ab huiusmodi tricis expediat se Analysta, dum crescet labor, augebitur difficultas, et fatigatus tandem, nihil, post repetitas sæpiùs operationes, aut profecisse se, aut promovisse depræhendet ; Anitaque hærebit Analysis, et asymmetriis undique obruta conticescet ? Videant eruditi, et methodum huic negotio conducibilem inquirant.
Proponatur in exemplum latus (b in a, - a quad.) + latus (z quad. + d in a, + a quad.) + latus (m in a) + latus (d quad. - a quad.) - latere (r in a, + a quad.) æquari b + a.
Operetur secundum præcepta artis Analysta, et ab asymmetria proposita se expediat, aut artis inefficaciam fateatur.
Il me semble que les Illustres en cette science ne sçauroient prendre un plus digne et plus necessaire employ que celuy d’aplanir ces difficultez ; Pour les y exciter vous leur pourriez dire par advance, que i’ay fait quelque progrez en cette matiere, et qu’il y a beaucoup à découvrir et à inventer ; Vous pourrez mesme en écrire en Italie et en Hollande, afin que la Prophetie du Chancelier d’Angleterre s’accomplisse : Multi pertransibunt, et angebitur scientia.
Pour le billet de Monsieur de Fermat, puis qu’il est Latin, il faut que i’y réponde aussi en Latin, et en suitte de ces mots : An itaque hærebit Analysis, et asymmetriis undique obruta conticescet ? Videant eruditi, AT IV, 256
et methodum huic negotio conducibilem inquirant. Ie répons.
Non hæret Analysis nostra in loco tam facili, et methodum huic negotio conducibilem talem habet. Omnibus asymmetriæ notis rejectis, dati termini (hoc modo commensurabiles facti) simul jungendi sunt, et postea quadrate multiplicandi. Suntque ter ita multiplicandi, si dati fuerint quinque termini asymmetri ; Clerselier III, 474
quater, si dati fuerint sex ; quinquies, si dati fuerint septem, et sic in infinitum.
Deinde ex terminis ultima multiplicatione productis, eorumve multiplis per solam additionem et substractionem simul junctis, exurgit æquatio nullis asymmetriis intricata, quæ priori datæ æquipollet.
Ita, in dato exemplo, sunt sex termini asymmetri, quos sic scribo ; 
.
Si autem semel quandrate ducti, producunt terminos viginti et unum duntaxat. Notandum enim est cujuscunque termini omnes partes (quando habet plures) simul junctas esse retinendas ; nec ante finem operationis cum aliorum terminorum partibus, quamvis plane similibus, confundendas. Hi autem 21 termini, quadrate multiplicati, producunt multo plures ; sed quia istæ multiplicationes per amanuensem fieri possunt, lapsusque calami amanuensis a inter perito Analysta facile emendatur, operationis prolixitas AT V, 257
inter ejus difficultates non est numeranda. Et novi sane breviorem, sed quæ non ita per amanuensem potest absolvi.
Hic autem peto a Domino Fermat, nec non a Domino de Roberval, (et quodem præcipue ab hoc ultimo : cum enim occupet Cathedram Rami, tenetur ex officio ad ejusmodi quæstiones respondere, vel ista Cathedra se indignum esse debet fateri), peto, inquam, ab ipsis quomodo inveniendum sit quinam ex terminis ultima multiplicatione productis addendi sint, et quinam subtrahendi, ut exurgat quæsita æquatio. Nec prætendre debet D. de Roberval, ut solet, non istam multum temporis exigere, seque esse aliis negotiis occupatum ; affirmo enim, atque cum opus erit demonstrabo, nihil a me hic peti, quod non possit a perito Analysta brevissimo tempore inveniri, profiteorque me in hac methodo quærenda et invenienda, nec non etiam ad omnes asymmetriæ species extendenda, vix medium horæ quadrantem impendisse.
AT III, 708
Clerselier III, 475
Propositio demonstrata a D. Descartes.
Data qualibet conica sectione et puncto extra ejus planum ut libet sito, quæritur circulus qui sit basis coni quem describit linea recta, ex dato puncto, ut vertice, circa datam conicam sectionem conversa ; nam, quod superficies ita descripta sit conica, non dubium est et, post inventum circulum qui sit ejus basis, facile potest demonstrari.
Solutio.
Hanc propositionem divido in tres casus, quorum : Primus est cum data sectio est ellipsis, et ejus centro punctum datum perpendiculariter incumbit ; Secundus est cum perpendicularis a puncto dato cadit alibi in axem datæ ellipseos, aut uti libet in axem datæ hyperbolæ aut parabolæ ; Tertius denique, cum extra axes cadit.
Primus casus.
Data ellipsi BOL, et puncto A supra ejus centrum D 
perpendiculariter erecto ad distantiam lineæ AD, duco Clerselier III, 476
lineas AD et AL ad A vertice coni ad B et L extremitates minimæ diametri datæ ellipseos. Deinde quæro lineam p, quæ sit ad AB ut DO est ad DO+DB ; itemque lineam q, quæ sit ad eandem AB ut DO est ad AT III, 709
DO–DB ; et lineam r, quæ sit media proportionalis interp et q. Ac denique, ex centro A, describo circulum cujus radius æquetur lineæ r ; hicque circulus secat diametrum BL productam in K, ita ut, juncta linea AK, si ex puncto B ducatur ipsi parallela BC, hæc BC est diameter circuli quæsiti, ut facile per analysim demonstratur.
Sequentes autem casus ad hunc reducentur, quia facilius erit in ipsis invenire ellipsim cuis centro incumbat perpendicularis avertice coni, quam circulum qui sit basis ejusdem coni.
Secundus casus.
Data ellipsi BFC, et puncto A supra punctum E axis 
BC perpendiculariter erecto ad distantiam lineæ AE, duco lineas BA et CA, sumptaque AL, in longiori CA, quæ sit æqualis breviori BA, habeo lineam AT III, 710
BL pro una ex diametris ellipseos cujus centro D punctum A perpendiculariter incumbit. Et alia linea per punctum D ducta lineæ AD perpendicularis et plano sectionis BFC parallela, in conica sectione utrimque terminata, est alia ejusdem ellipseos diameter, priori conjugata. Datis autem conjugatis diametris ellipseos, ipsa etiam ellipsis est data. Et data ellipsi cujus centro vertex coni perpendiculariter incumbit, invenitur circulus, qui sit ejusdem coni basis, modo jam ante explicato.
Item, data parabola BF, et puncto A supra punctum E axis BC perpendiculariter erecto ad distantiam lineæ AE, duco lineam AB, itemque A L æqualem ipsi AB ac parallelam ipsi BC ; estque BL una ex diametris ellipseos Clerselier III, 477
cujus centro D punctum A perpendiculariter incumbit. Et alia ipsi coniugata diameter habetur ut supra.
Item, data hyperbola BF ejusque opposita, cujus AT III, 711
vertex, C, et dato puncto A supra punctum E axis BC perpendiculariter erecto ad distantiam lineæ AE, duco lineas BA et CA, sumptâque AL, in longiori CA ultra punctum A producta, quæ AL sit æqualis breviori BA, habeo lineam BL pro una ex diametris ellipseos, etc. ut supra. Item, data hyperbola BF ejusque opposita, cujus vertex C, et dato puncto A supra punctum E axis secundi HE perpendiculariter erecto ad distantiam AT III, 712
lineæ AE, in axe HE sumo HG æqualem lineæ HA, et ductis lineis BG et CG producta in L, ita ut GL sit æqualis BG, BL est una ex conjugatis diametris ellipseos quæsitæ, cujus scilicet centro D punctum A perpendiculariter incumbit. Et alia linea, per centrum D ducta perpendicularis lineæ GD, sive AE (litteræ enim A et G unum et idem punctum supra planum BCE, tanquam in aëre Clerselier III, 478
imaginandum, repræsentant), et plano sectionis BFC parallela, 
in conica superficie utrimque terminata, est diameter alteri conjugata ut supra. Atque hæc omnia tam clara sunt, ut nulla demonstratione egere videantur.
Tertius casus.
Data parabola BGK, cujus vertex G et pars axis GY est æqualis mediæ parti lateris recti, datoque puncto A extra planum sectionis, ex quo perpendicularis AE AT III, 713
cadit extra axem in E punctum plani sectionis, datæ 
etiam sunt lineæ : AG quam voco a ; EF, perpendicularis ab E in axem, quam voco b ; FY quam voco c ; et latus rectum quod voco r ; ex quibus quæro punctum B in quo parabola tangatur ab ellipsi in cujus centrum cadit perpendicularis a puncto A, sive quæro lineam BN perpendicularem axi GI, quam voco x, atque per analysim Clerselier III, 479
invenio : 
ex qua æquatione facile habetur punctum B per meam Geometriam. Nam, si a et c sint æquales, sumenda est tantum in axe YR, quæ sit media pars datæ FI, et perpendicularis RS, quæ sit octava pars datæ FE, ductusque circulus ex centro S, per verticem sectionis G, secabit parabolam in quæsito puncto B. Si autem a et c non sint æquales, paulo quidem prolixior erit hæc constructio, sed non difficilior. Invento autem puncto B, duco rectam AB, itemque AL ipsi æqualem ac parallelam axi GY ; estque BL una ex diametris ellipseos quæsitæ. Atque linea per ejus centrum D ducta perpendicularis lineæ AD ac parallela plano sectionis, in conica superficie utrimque terminata, est alia diameter priori conjugata.
Instituitor autem analysis, ad punctum B inveniendum, hoc pacto. Ex datis et assumptis AG, EF, FI, YG, GN, et NB, quæritur AB, itemque BP, tangens AT III, 714
parabolam in B ; et facta BH æquali ipsi AB et axi GY parallela, invenitur AH, ex AQ, QB et BH ; itemque HK parallela tangenti BP ; itemque KM perpendicularis a puncto K in axem GY ; itemque MG et MY. Atque ex datis vel assumptis AG, EF, FI, MY et KM, invenitur AK, cujus quadratum debet æquari quadratis ex KH et AH, quia, ut angulus ADB, ita etiam AHK rectus est. Atque æquatio quæ per hanc viam inveniter est hæc :
Eadem plane ratione instituetur analysis in hyperbola et in ellipsi, et quamuis aliquanto intricatior et longior sit futura, necessario tamen reduci poterit ad æquationem quæ quatuor dimensiones non excedet, atque idcirco, juxta meam Geometriam, per solam regulam et circulum in data conica sectione construetur.