AT VI, 442

LA GEOMETRIE.
LIVRE TROISIESME.
De la construction des Problesmes, qui sont Solides, ou plusque Solides.

De quelles lignes courbes on peut se seruir, en la construction de chasq; problesme.Encore que toutes les lignes courbes, qui peuuent estre descrites par quelque mouuement regulier, doiuent estre receuës en la Geometrie, ce n’est pas à dire qu’il soit permis de se seruir indifferemment de la premiere qui se rencontre, pour la construction de chasque Maire, p. 370
Image haute résolution sur Gallica problesme : mais il faut auoir soin de choisir tousiours la plus simple, par laquelle il soit possible de le resoudre. Et mesme il est remarquer, que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles, qui peuuent le plus aysement estre descrites, ny celles qui rendent la construction, ou la demonstration du Problesme proposé plus facile, mais principalement celles, qui sont du plus simple genre, qui puisse seruir à determiner la quantité qui est cherchée.

Exemple touchant l’inuentiõ de plusieurs moyẽnes proportionelles. Comme par exemple ie ne croy pas, qu’il y ait aucune façon plus facile, pour trouuer autant de moyennes proportionnelles, qu’on veut, ny dont la AT VI, 443 demonstration soit plus euidente, que d’y employer les lignes courbes, qui se descriuent par l’instrument XYZ cy dessus expliqué. Car voulant trouuer deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que descrire vn cercle, dont le diametre soit YE ; et pource que ce cercle couppe Maire, p. 371
Image haute résolution sur Gallica la courbe AD au point D, YD est l’vne des moyennes proportionnelles cherchées. Dont la demonstration se voit à l’œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD. Car comme YA, ou YB, qui luy est esgale est à YC ; ainsi YC est à YD ; et YD à YE.

Tout de mesme pour trouuer quatre moyennes proportionelles entre YA et YG ; ou pour en trouuer six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG, qui couppant AF au point F, determine la ligne droite YF, qui est l’vne de ces quatre proportionnelles ; ou YHN, qui couppant AH au point H, determine YH l’vne des six, et ainsi des autres.

Mais pource que la ligne courbe AD est du second AT VI, 444 genre, et qu’on peut trouuer deux moyenes proportionelles par les sections coniques, qui sont du premier ; et aussy pource qu’on peut trouuer quatre ou six moyenes proportionelles, par des lignes qui ne sont pas de genres si composés, que sont AF, et AH, ce seroit vne faute en Geometrie que de les y employer. Et c’est vne faute aussy d’autre costé de se trauailler inutilement à vouloir construire quelque problesme par vn genre de lignes plus simple, que sa nature ne permet.

De la nature des Equatiõs.Or affin que ie puisse icy donner quelques reigles, pour euiter l’vne et l’autre de ces deux fautes, il faut que ie die quelque chose en general de la nature des Equations ; c’est à dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les vns sont esgaux aux autres, ou plutost qui considerés tous ensemble sont esgaux à rien. Car ce sera souuent le meilleur de les considerer en cete sorte.

Maire, p. 372
Image haute résolution sur Gallica Combien il peut y auoir de racines en chasq; Equatiõ.Scachés donc qu’en chasque Equation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut il y auoir de diuerses racines, c’est à dire de valeurs de cete quantité. Car par exemple si on suppose $x$ esgale à $2$ ; ou bien $x-2$ esgal à rien ; et derechef $x\ad3$ ; ou bien $x-3\ad0$ ; en multipliant ces deux equations $x-2\ad0$, et $x-3\ad0$, l’vne par l’autre, on aura $xx-5x+6\ad0$, ou bien $xx\ad5x-6$, qui est vne Equation en laquelle la quantité $x$ vaut $2$ et tout ensemble vaut $3$. Que si derechef on fait AT VI, 445 $x-4\ad0$, et qu’on multiplie cete somme par $xx-5x+6\ad0$, on aura $x^3-9xx+26x-24\ad0$, qui est vne autre Equation en laquelle $x$ ayant trois dimensions a aussy trois valeurs, qui sont $2$, $3$, et $4$.

Quelles sont les fausses racines.Mais souuent il arriue, que quelques vnes de ces racines sont fausses, ou moindres que rien. si on suppose que $x$ designe aussy le defaut d’vne quantité, qui soit $5$, on a $x+5\ad0$, qui estant multipliée par$x^3-9xx+26x-24\ad0$ fait$$x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$$ pour vne equation en laquelle il y a quatre racines, à sçauoir trois vrayes qui sont $2$, $3$, $4$, et vne fausse qui est $5$.

Cõment on peut diminuer le nombre des dimensions d’vne Equation lorsqu’on connoist quelqu’vne de ses racines.Et on voit euidemment de cecy, que la somme d’vne equation, qui contient plusieurs racines, peut tousiours estre diuisée par vn binóme composé de la quantité inconnuë, moins la valeur de l’vne des vrayes racines, laquelle que ce soit ; ou plus la valeur de l’vne des fausses. Au moyen de quoy on diminue d’autant ses dimensions.

Cõment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’vne racine.Et reciproquement que si la somme d’vne equation Maire, p. 373
Image haute résolution sur Gallica ne peut estre diuisée par vn binóme composé de la quantité inconnue $+$ ou $-$ quelque autre quantité, cela tesmoigne que cete autre quantité n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cete derniere $x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$ peut bien estre diuisée, par $x-2$, et par $x-3$, et par AT VI, 446 $x-4$, et par $x+5$ ; mais non point par $x$ $+$ ou $-$ aucune autre quantité. ce qui monstre qu’elle ne peut auoir que les quatre racines $2$, $3$, $4$, et $5$.

Combien il peut y auoir de vrayes racines en chasque Equatiõ.On connoist aussy de cecy combien il peut y auoir de vrayes racines, et combien de fausses en chasque Equation. À sçauoir il y en peut auoir autant de vrayes, que les signes $+$ et $-$ s’y trouuent de fois estre changés ; et autant de fausses qu’il s’y trouue de fois deux signes $+$, ou deux signes $-$ qui s’entresuiuent. Comme en la derniere, à cause qu’aprés $+x^4$ il y a $-4x^3$, qui est vn changement du signe $+$ en $-$, et aprés $-19xx$, il y a $+106x$ et aprés $+106x$ il y a $-120$ qui sont encore deux autres changemens, on connoist qu’il y a trois vrayes racines ; et vne fausse, à cause que les deux signes $-$, de $4x^3$ et $19xx$ s’entresuiuent.

Cõment on fait que les fausses racines d’vne Equation deuienẽt vrayes, et les vrayes fausses.De plus il est aysé de faire en vne mesme Equation, que toutes les racines qui estoient fausses deuienent vrayes, et par mesme moyen que toutes celles qui estoiẽt vrayes deuienent fausses : à sçauoir en changeant tous les signes $+$ ou $-$ qui sont en la seconde, en la quatriesme, en la sixiesme, ou autres places qui se designent par les nombres pairs, sans changer ceux de la premiere, de la troisiesme, de la cinquiesme et semblables qui se designent par les nombres Maire, p. 374
Image haute résolution sur Gallica impairs. Comme si au lieu de $+x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$ on escrit $+x^4+4x^3-19xx-106x-120\ad0$ on a vne Equation en laquelle il n’y a qu’vne vraye AT VI, 447 racine, qui est $5$, et trois fausses qui sont $2$, $3$, et $4$.

Cõment on peut augmenter ou diminuer les racines d’vne Equation, sans les connoistre.Que si sans connoistre la valeur des racines d’vne Equation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connuë, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu en supposer vn autre, qui soit plus ou moins grand de cete mesme quantité, et le substituer par tout en la place du premier.

Comme si on veut augmenter de $3$ la racine de cete Equation $x^4+4x^3-119xx-106x-120\ad0$ il faut prendre $y$ au lieu d’$x$, et penser que cete quantité $y$ est plus grande qu’$x$ de $3$, en sorte que $y-3$ est esgal à $x$, et au lieu d’$xx$, il faut mettre le quarré d’$y-3$ qui est $yy-6y+9$ et au lieu d’$x^3$ il faut mettre son cube qui est $y^3-9yy+27y-27$, et enfin au lieu d’$x^4$ il faut mettre son quarré de quarré qui est $y^4-12y^3+54yy-108y+81$. Et ainsi descriuant la somme precedente en substituant partout $y$ au lieu d’$x$ on a
$\begin{array}{rrrrrr} y^4&-12y^3&+54yy&-108y&+81&\\ &+4y^3&-36yy&+108y&-108&\\ &&-19yy&+114y&-171&\\ &&&-106y&+318&\\ &&&&-120&\\ \hline\\ y^4&-8y^3&-1yy&+8y&*&=0 \end{array}$
Maire, p. 375
Image haute résolution sur Gallica ou bien $y^3-8yy-1y+8\ad0$ où la vraye racine qui estoit $5$ est maintenant $8$, à cause du nombre trois qui luy est aiousté.

AT VI, 448 Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cete mesme Equation, il faut faire $y+3\ad x$ et $yy+6y+9\ad xx$. Et ainsi des autres de façon qu’au lieu de $x^4+4x^3-19xx-106x-120\ad0$ on met
$\begin{array}{rrrrrr} y^4&+12y^3&+54yy&+108y&+81&\\ &+4y^3&+36yy&+108y&+108&\\ &&-19yy&-114y&-171&\\ &&&-106y&-318&\\ &&&&-120&\\ \hline\\ y^4&+16y^3&+71yy&-4y&-420&\ad\,\,0. \end{array}$

Qu’en augmentant les vrayes racines on diminue les fausses, et au contraire.Et il est remarquer qu’en augmentant les vrayes racines d’vne Equation, on diminue les fausses de la mesme quantité ; ou au contraire en diminuant les vrayes, on augmente les fausses. Et que si on diminue soit les vnes soit les autres, d’vne quantité qui leur soit esgale, elles deuienent nulles, et que si c’est d’vne quantité qui les surpasse, de vrayes elles deuienent fausses, ou de fausses vrayes. Comme icy en augmentant de $3$ la vraye racine qui estoit $5$, on a diminué de $3$ chascune des fausses, en sorte que celle qui estoit $4$ n’est plus qu’$1$, et celle qui estoit $3$ est nulle, et celle qui estoit $2$ est deuenue vraye et est $1$, à cause que $-2+3$ fait $+1$. c’est pourquoy en cete Equation $y^3-8yy-1y+8\ad0$ il n’y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vrayes, Maire, p. 376
Image haute résolution sur Gallica $1$, et $8$, et vne fausse qui est aussy $1$. Et en cete autre AT VI, 449 $y^4+16y^3+71yy-4y-420\ad0$ il n’y en a qu’vne vraye qui est $2$, à cause que $+5-3$ fait $+2$, et trois fausses qui sont $5$, $6$, et $7$.

Cõment on peut oster le second terme d’vne Equation.Or par cete façon de changer la valeur des racines sans les connoistre, on peut faire deux choses, qui auront cy aprés quelque vsage : la premiere est qu’on peut tousiours oster le second terme de l’Equation qu’on examine, à sçauoir en diminuant les vrayes racines, de la quantité connuë de ce second terme diuisée par le nombre des dimensions du premier, si l’vn de ces deux termes estant marqué du signe $+$, l’autre est marqué du signe $-$ ; ou bien en l’augmentant de la mesme quantité, s’ils ont tous deux le signe $+$, ou tous deux le signe $-$. Comme pour oster le second terme de la derniere Equatiõ qui est $y^4+16y^3+71yy-4y-420\ad0$ayant diuisé $16$ par $4$, à cause des 4 dimensions du terme $y^4$, il vient derechef $4$, c’est pourquoy ie fais $z-4\ad y$, et i’escris
$\begin{array}{rrrrrr} z^4&-16z^3&+96zz&-256z&+256&\\ &+16z^3&-192zz&+768z&-1024&\\ &&+71zz&-568z&+1136&\\ &&&-4z&+16&\\ &&&&-420&\\ \hline\\ z^4&*&-25zz&-60z&-36&\ad\,\,0. \end{array}$
où la vraye racine qui estoit $2$, est $6$, à cause qu’elle AT VI, 450 est augmentée de $4$ ; et les fausses qui estoient $5$, $6$, et $7$, ne sont plus que $1$, $2$, et $3$, à cause qu’elles sont diminuées, chascune de $4$.

Maire, p. 377
Image haute résolution sur Gallica Tout de mesme si on veut oster le second terme de, pource que diuisant $2a$ par $4$ il vient $\frac{1}{2}\,a$ ; il faut faire $z+\frac{1}{2}\,a\ad x$ et escrire
\begin{array}{rrrrrr} z^4&+2az^3&+\frac{3}{2}\,aazz&+\frac{1}{2}\,a^3z&+\frac{1}{16}\,a^4&\\ &-2az^3&-3aazz&-\frac{3}{2}\,a^3z&-\frac{1}{4}\,a^4&\\ &&+2aazz&+2a^3z&+\frac{1}{2}\,a^4&\\ &&-cczz&-accz&-\frac{1}{4}\,aacc&\\ &&&-2a^3z&-a^4&\\ &&&&+a^4&\\ \hline\\ z^4&*&+\frac{1}{2}\,aazz&-a^3z&+\frac{5}{16}\,a^4\\ &&-cczz&-accz&-\frac{1}{4}\,aacc&\ad\,\,0\end{array}
et si on trouue aprés la valeur de $z$, en luy adioustant $\frac{1}{2}\,a$ on aura celle de $x$.

Cõment on peut faire que toutes les fausses racines d’vne Equation deuienẽt vrayes, sans que les vrayes deuienẽt fausses.La seconde chose, qui aura cy aprés quelque vsage, est, qu’on peut tousiours en augmentant la valeur des vrayes racines, d’vne quantité qui soit plus grande que n’est celle d’aucune des fausses, faire qu’elles deuienent toutes vrayes, en sorte qu’il n’y ait point deux signes $+$, ou deux signes $-$ qui s’entresuiuent, et outre cela que la quantité connuë du troisiesme terme soit plus grande, que le quarré de la moitié de celle du second. Car encore que cela se face, lorsque ces fausses racines sont inconnuës, il est aysé neanmoins AT VI, 451 de iuger à peu prés de leur grandeur, et de prendre vne quantité, qui les surpasse d’autant, ou de plus, qu’il n’est requis à cet effect. Comme si on a Maire, p. 378
Image haute résolution sur Gallica $x^6+nx^5-6nnx^4+36n^3x^3-216n^4x^2+1296n^5x-7776n^6$ en faisant $y-6n\ad x$, on trouuera
$\begin{array}{rrrrrrrrrrrr} y^6&-36ny^5&+540nny^4&-4320n^3y^3&+19440n^4yy&-46656n^5y&+46656n^6\\ &+n\hphantom{y^5}&-30nn\hphantom{y^5}&+360n^3\hphantom{y^5}&-2160n^4 \hphantom{y^5}&+6480n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&-6nn\hphantom{y^5}&+144n^3\hphantom{y^5}&-1296n^4\hphantom{y^5}&+5184n^5 \hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&+36n^3\hphantom{y^5}&-648n^4\hphantom{y^5}&+3888n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&-216n^4\hphantom{y^5}&+2592n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&&+1296n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&&&-7776n^6\\ \hline\\ y^6&-35y^5&+504nny^4&-3780n^3y^3&+15120n^4yy&-27216n^5y&*\ad\,\,0\quad \end{array}$.

Ou il est manifeste, que , qui est la quantité connuë du troisiesme terme est plus grande, que le quarré de $\frac{35}{2}\,n$, qui est la moitié de celle du second. Et il n’y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vrayes racines, ait besoin à cet effect, d’estre plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour cetuy cy.

Cõment on fait que toutes les places d’vne Equation soient remplies.Mais à cause que le dernier terme s’y trouue nul, si on ne desire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; Et ce ne sçauroit estre de si peu, que ce ne soit assés pour cet effect. Non plus que lorsqu’on veut accroistre le nombre des dimensions de quelque Equation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies. Comme si au lieu de $x^5****-b\ad0$, on veut auoir vne Equation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premierement pour $x^5****-b\ad0$ AT VI, 452 escrire $x^6****-bx\ad0$ puis ayant fait $y-a\ad x$, on aura $y^6-6ay^5+15aay^4-20a^3y^3+15a^4yy-(6a^5+b)y+a^6+ab\ad0$ Ouoù il est manifeste que tant petite que la quantité $a$ soit Maire, p. 379
Image haute résolution sur Gallica supposée toutes les places de l’Equation ne laissent pas d’estre remplies.

Commẽt on peut multiplier ou diuiser les racines sans les connoistre.De plus on peut, sans connoistre la valeur des vrayes racines d’vne Equation, les multiplier, ou diuiser toutes, par telle quantité connuë qu’on veut. Ce qui se fait en supposant que la quantité inconnuë estant multipliée, ou diuisée, par celle qui doit multiplier, ou diuiser les racines, est esgale quelque autre. Puis multipliant, ou diuisant la quantité connuë du second terme, par cete mesme qui doit multiplier, ou diuiser les racines ; et par son quarré, celle du troisiesme ; et par son cube, celle du quatriesme ; et ainsi iusques au dernier.Cõment on reduist les nombres rompus d’vne Equation des entiers.Ce qui peut seruir pour reduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souuent aussy les nombres sours, qui se trouuent dans les termes des Equations. Comme si on a $x^3-\sqrt{3}\,xx+\frac{26}{27}\,x-\frac{8}{27\sqrt3}\ad0$, et qu’on veuille en auoir vne autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer $y=x\sqrt3$, et multiplier par $\sqrt3$ AT VI, 453 la quantité connuë du second terme, qui est aussy $\sqrt3$, et par son quarré qui est $3$ celle du troisiesme qui est $\frac{26}{27}$, et par son cube qui est $3\sqrt3$ celle du dernier, qui est $\frac{8}{27\sqrt3}$, ce qui fait $y^3-3yy+\frac{26}{9}\,y-\frac{8}{9}\ad0$. Puis si on en veut auoir encore vne autre en la place de celle cy, dont les quantités connuës ne s’expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer $z=3y$, et multipliant $3$ par $3$, $\frac{26}{9}$ par $9$, et $\frac{8}{9}$ par $27$ on trouue $z^3-9zz+26z-24\ad0$, où les racines estant $2$, $3$, et $4$, on connoist de là que celles de l’autre d’auparauant Maire, p. 380
Image haute résolution sur Gallica estoient $\frac{2}{3}$, $1$, et $\frac{4}{3}$, et que celles de la premiere estoient $\frac{2}{9}\,\sqrt3$, $\frac{1}{3}\,\sqrt3$, et $\frac{4}{9}\,\sqrt3$.

Cõment on rend la quantité connuë de l’vn des termes d’vne Equation esgale telle autre qu’on veut.Cete operation peut aussy seruir pour rendre la quantité connuë de quelqu’un des termes de l’Equatiõ esgale à quelque autre donnée, comme si ayant $x^3*-bbx+c^3\ad0$ . On, on veut auoir en sa place vne autre Equation, en laquelle la quantité connuë, du terme qui occupe la troisiesme place, à sçauoir celle qui est icy $bb$, soit $3aa$, il faut supposer $y=x\sqrt{\frac{3aa}{bb}}$ ; puis escrire $y^3*-3aay+\frac{3a^3c^3}{b^3}\,\sqrt3\ad0$.

Que les racines, tant vrayes que fausses peuuent estre reelles ou imaginaires.Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousiours reelles ; mais quelquefois seulement imaginaires ; c’est à dire qu’on peut bien tousiours en imaginer autant que iay dit en chasque Equation ; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde AT VI, 454 à celles qu’on imagine. comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, $x^3-6xx+13x-10\ad0$, il n’y en a toutefois qu’vne reelle, qui est $2$, et pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que ie viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.

La reduction des Equatiõs cubiques lorsque le problesme est plan.Or quand pour trouuer la construction de quelque problesme, on vient à vne Equation, en laquelle la quantité inconnuë a trois dimensions ; premierement si les quantités connuës, qui y sont, contienent quelques nombres rompus, il les faut reduire à d’autres entiers, par la multiplication tantost expliquée ; Et s’ils en contienent de sours, il faut aussy les reduire à d’autres rationaux, autant qu’il sera possible, tant par cete mesme multiplication, Maire, p. 381
Image haute résolution sur Gallica que par diuers autres moyens, qui sont assés faciles à trouuer. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuuent diuiser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu’vne d’elles, iointe auec la quantité inconnuë par le signe $+$ ou $-$, peut composer vn binome, qui diuise toute la somme ; et si cela est, le Problesme est plan, c’est à dire il peut estre construit auec la reigle et le compas ; Car ou bien la quantité connuë de ce binosme est la racine cherchée ; ou bien l’Equation estant diuisée par luy, se reduist à deux dimensions, en sorte qu’on en peut trouuer aprés la racine, par ce qui a esté dit au premier liure.

Par exemple si on a $y^6-8y^4-124y^2-64\ad0$ AT VI, 455 le dernier terme, qui est $64$, peut estre diuisé sans fraction par $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, et $64$ ; C’est pourquoy il faut examiner par ordre si cete Equation ne peut point estre diuisée par quelqu’vn des binomes, $yy-1$ ou $yy+1$, $yy-2$ $yy+2$, $yy-4$ etc. Et on trouue qu’elle peut l’estre par $yy-16$, en cete sorte. $$\begin{array}{rrrrr} +y^6&-8y^4&-124yy&-64&=0\\\\ -1y^6&-8y^4&-4yy&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\\ 0&-16y^4&-128yy&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\\ &-16&-16&-16&\\ \hline\\ &+y^4&+8yy&+4&=0. \end{array}$$.

La façon de diuiser vne Equation par vn binome qui contiẽt sa racine.Ie commence par le dernier terme, et diuise $-64$ par $-16$, ce qui fait $+4$, que i’escris dans le quotient, puis ie multiplie $+4$ par $+yy$, ce qui fait $+4yy$ ; c’est pourquoy i’escris en la somme, qu’il faut diuiser. car il y Maire, p. 382
Image haute résolution sur Gallica faut tousiours escrire le signe $+$ ou $-$ tout contraire à celuy que produist la multiplication. Et ioignant $-124yy$ auec $-4yy$, iay $-128yy$, que ie diuise derechef par $-16$, et iay $+8yy$, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par $yy$, iay $-8y^4$, pour ioindre auec le terme qu’il faut diuiser, qui est aussy $-8y^4$, et ces deux ensemble font $-16y^4$, que ie diuise par $-16$, ce qui fait $+1y^4$ pour le quotient, et $-1y^6$ pour ioindre auec $+1y^6$, ce qui fait $0$, et monstre que la diuision est acheuée. Mais s’il estoit resté quelque quantité, ou bien qu’on n’eust pû diuiser sans fraction quelqu’vn des termes precedens, on eust par là reconnu, quellequ’elle ne pouuoit estre faite.

AT VI, 456 Tout de mesme si on a $y^6+(aa-2cc)y^4+(-a^4+c^4)yy-a^6-2a^4cc-aac^4\ad0$ le dernier terme se peut diuiser sans fraction par $a$, $aa$, $aa+cc$, $a^3+acc$ et semblables. Mais il n’y en a que deux qu’on ait besoin de considerer, à sçauoir $aa$ et $aa+cc$ ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu’il n’y en a en la quantité connuë du penultiesme terme, empescheroient que la diuision ne s’y pûst faire. Et notés, que ie ne conte icy les dimensions d’$y^6$, que pour trois, à cause qu’il n’y a point d’$y^5$, ny d’$y^3$, ny d’$y$ en toute la somme. Or en examinant le binóme $yy-aa-cc\ad0$, on trouue que la diuision se peut faire par luy en cete sorte.
$$\begin{array}{rrrrr} +y^6&+(+aa-2cc)\,y^4&+(-a^4+c^4)\,yy&-a^6-2a^4cc-a^2c^4&ad\,\,0,\\\\ -y^6&+(-2aa+cc)\,y^4&+(-a^4-aacc)\,yy&&\\ \begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&&&&\\ 0&&&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&&\\ \end{matrix}&\\ &-aa-cc&-aa-cc&-aa-cc&\\ \hline\\ &+y^4&+(2aa-cc)\,yy&+a^4+aacc&ad\,\,0. \end{array}$$.

Maire, p. 383
Image haute résolution sur Gallica Ce qui monstre que la racine cherchée est $aa+cc$. Et la preuue en est aysée à faire par la multiplication.

Quels problesmes sont solides, lorsque l’Equation est cubiqueMais lorsqu’on ne trouue aucun binóme, qui puisse ainsi diuiser toute la somme de l’Equation proposée, il est certain que le Problesme qui en depend est solide. AT VI, 457 Et ce n’est pas vne moindre faute aprés cela, de tascher le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce seroit d’employer des sections coniques à construire ceux ausquels on n’a besoin que de cercles. enfin tout ce qui tesmoigne quelque ignorance s’appele faute.

La reduction des Equations qui ont quatre dimẽsions, lorsque le problesme est plan. Et quels sont ceux qui sont solides.Que si on a vne Equation dont la quantité inconnuë ait quatre dimensions, il faut en mesme façon, aprés en auoir osté les nombres sours, et rompus, s’il y en a, voir si on pourra trouuer quelque binóme, qui diuise toute la somme, en le composant de l’vne des quantités, qui diuisent sans fraction le dernier terme. Et si on en trouue vn, ou bien la quantité connuë de ce binóme est la racine cherchée ; ou du moins aprés cete diuision, il ne reste en l’Equation, que trois dimensions, en suite de quoy il faut derechef l’examiner en la mesme sorte. Mais lorsqu’il ne se trouue point de tel binóme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, oster le second terme de la somme, en la façon tantost expliquée. Et aprés la reduire à vne autre, qui ne contiene que trois dimensions. Ce qui se fait en cete sorte. Au lieu de $+x^4*.pxx.qx.r\ad0$, il faut escrire $+y^6.2py^4.(+pp.4r)yy-qq\ad0$.

Et pour les signes $+$ ou $-$, que iay omis, s’il y a Maire, p. 384
Image haute résolution sur Gallica eu $+p$ en la precedente Equation, il faut mettre en cellecy $+2p$, ou s’il y a eu $-p$, il faut mettre $-2p$. Et au contraire s’il y a eu $+r$, il faut mettre $-4r$, ou s’il y AT VI, 458 a eu $-r$, il faut mettre $+4r$. Et soit qu’il y ait eu $+q$, ou $-q$, il faut tousiours mettre $-qq$, et $+pp$. au moins si on suppose que $x^4$, et $y^6$ sont marqués du signe $+$, car ce seroit tout le contraire si on y supposoit le signe $-$.

Par exemple si on à $+x^4*-4xx-8x+35\ad0$ il faut escrire en son lieu $y^6-8y^4-124yy-64\ad0$. car la quantité que iay, nommée $p$ estant $-4$, il faut mettre $-8y^4$ pour $2py^4$. Et celle, que iay nommée $r$ estant $35$, il faut mettre $(+16-140)yy$, c’est à dire $-124yy$, au lieu de $(+pp-4r)yy$. Et enfin $q$ estant $8$, il faut mettre $-64$, pour $-qq$. Tout de mesme au lieu de $+x^4*-17xx-20x-6\ad0$. il faut escrire $+y^6-34y^4+313yy-400\ad0$. Car $34$ est double de $17$, et $313$ en est le quarré ioint au quadruple de $6$, et $400$ est le quarré de $20$.

Tout de mesme aussy au lieu de$+z^4*+\Big(\frac{1}{2}aa-cc\Big)zz+(-a^3-acc)z+\frac{5}{16}a^4-\frac{1}{4}aacc \ad0$, Iil faut escrire $y^6+(+aa-2cc)y^4+(-a^4+c^4)yy+(-a^6-2a^4cc-aac^4)\ad0$. Car $p$ est $\frac{1}{2}aa-cc$, et $pp$, est $\frac{1}{4}a^4-aacc+c^4$, et $4r$ est $-\frac{5}{4}+aacc$, et enfin $-qq$ est $-a^6-2a^4cc-aac^4$.

AT VI, 459 Aprés que l’Equation est ainsi reduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur d’$yy$ par la methode desia expliquée ; Et si celle ne peut estre trouuée, on n’a point Maire, p. 385
Image haute résolution sur Gallica besoin de passer outre ; car il suit de là infalliblement, que le problesme est solide. Mais si on la trouue, on peut diuiser par son moyen la precedente Equation en deux autres, en chascune desquelles la quantité inconnuë n’aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mesmes que les sienes. À sçauoir, au lieu de $\quad+x^4*.pxx.qx.r\ad0\quad$, il faut escrire ces deux autres $+xx-yx+\frac{1}{2}yy.\frac{1}{2}p.\frac{q}{2y}\ad0$, et $+xx+yx+\frac{1}{2}yy.\frac{1}{2}p.\frac{q}{2y}\ad0$.

Et pour les signes$+$ et $-$ que iay omis, s’il y a $+p$ en l’Equation precedente, il faut mettre $+\frac{1}{2}p$ en chascune de celles cy ; et $-\frac{1}{2}p$, s’il y a en l’autre $-p$. Mais il faut mettre $+\frac{q}{2y}$ ; en celle où il y a $-yx$ ; et $-\frac{q}{2y}$, en celle où il y a $+yx$, lorsqu’il y a $+q$ en la premiere. Et au contraire s’il y a $-q$, il faut mettre $-\frac{q}{2y}$, en celle où il y a $-yx$ ; et $+\frac{q}{2y}$, en celle où il y a $+yx$. En suite de quoy il est aysé de connoistre toutes les racines de l’Equation proposée, et par consequent de construire le problesme, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.

Par exemple à cause que faisant $y^6-34y^4+313yy-400\ad0$, pour $x^4*-17xx-20x-6=0$, AT VI, 460 on trouue que $yy$ est $16$, on doiit au lieu de cete Equation $+x^4*-17xx-20x-6\ad0$, escrire ces deux Maire, p. 386
Image haute résolution sur Gallica autres $+xx-4x-3\ad0$. Et $+xx+4x+2\ad0$. car $y$ est $4$, $\frac{1}{2}\,yy$ est $8$, $p$ est $17$, et $q$ est $20$, de façonque $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p-\frac{q}{2y}$ fait $-3$, et $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p+\frac{q}{2y}$ fait $+2$. Et tirant les racines de ces deux Equations, on trouue toutes les mesmes, que si on les tiroit de celle où est $x^4$, à sçauoir on en trouue vne vraye, qui est $\sqrt{7}+2$, et trois fausses, qui sont $\sqrt{7}-2$, $2+\sqrt2$, et $2-\sqrt2$. Ainsi ayant $x^4-4xx-8x+35\ad0$, pource que la racine de $y^6-8y^4-124yy+64\ad0$, est derechef $16$, il faut escrire $xx-4x+5\ad0$, et $xx+4x+7\ad0$. Car icy $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p-\frac{q}{2y}$ fait $5$, et $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p+\frac{q}{2y}$ fait $7$. AT VI, 461 Et pourcequ’on ne trouue aucune racine, ny vraye, ny fausse, en ces deux dernieres Equations, on connoist de là que les quatre de l’Equation dont elles procedent sont imaginaires ; et que le Problesme, pour lequel on l’a trouuée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne sçauroit en aucune façon estre construit, à cause que les quantités données ne peuuent se ioindre.

Tout de mesme ayant $z^4*+\Big(\frac{1}{2}\,aa-cc\Big)zz+(-a^3-acc)z+\frac{5}{16}\,a^4-\frac{1}{4}\,aacc\ad0$, pourcequ’on trouue $aa+cc$ pour $yy$, il faut escrire $$zz-\sqrt{aa+cc}\,z+\frac{3}{4}\,aa-\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}\ad0$$, et $$zz+\sqrt{aa+cc}\,z+\frac{3}{4}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}\ad0$$. Car $y$ est $\sqrt{aa+cc}$, et $+\frac{1}{2}\,yy+\frac{1}{2}\,p$ est $\frac{3}{4}\,aa$, et $\frac{q}{2y}$ est $\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}$. D’où on connoist que la valeur de $z$ Maire, p. 387
Image haute résolution sur Gallica est $\frac{1}{2}\,\sqrt{aa+cc}+\sqrt{-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{4}\,cc +\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$ ou bien $\frac{1}{2}\,\sqrt{aa+cc}-\sqrt{-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{4}\,cc+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$. Et pource que nous auions fait cy dessus $z+\frac{1}{2}\,a\ad x$, nous apprenons que la quantité $x$, pour la connoissance de laquelle nous auons fait toutes ces operations, est$$+\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+\frac{1}{4}\,cc}-\sqrt{\frac{1}{4}\,cc-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}.$$.

Exemple de l’vsage de ces reductions.Mais affin qu’on puisse mieux connoistre l’vtilité de AT VI, 462 cete reigle il faut que ie l’applique à quelq; Problesme.

Si le quarré AD, et la ligne BN estant donnés, il faut prolonger le costé AC iusques à E, en sorte qu’EF, tirée d’E vers B, soit esgale à NB. On apprent de Pappus, qu’ayant premierement prolongé BD iusques à G, en sorte que DG soit esgale à DN, et ayant descrit vn cercle dont le diametre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonference de ce cercle au point E, qu’on demandoit. Mais pour ceux qui ne sçauroiẽt point cete cõstruction elle seroit assés difficile à rencõtrer, et en la cherchãt par la methode icy proposée, ils ne s’auiseroiẽt iamais de prẽdre DG pour la quãtité inconnuë, mais plutost CF, ou FD, à cause que ce Maire, p. 388
Image haute résolution sur Gallica sont elles qui conduisent le plus aysement al’Equatiõ : et lors ils en trouueroiẽt vne qui ne seroit pas facile à demesler, sans la reigle que ie viens d’expliquer. Car posant $a$ pour BD ou CD, et $c$ pour EF, et $x$ pour DF, on a CF $\ad a-x$, et cõme CF ou $a-x$, est à FE ou $c$, ainsi FD ou $x$, est à BF, qui par consequent est $\frac{cx}{a-x}$. Puis à cause du triangle rectangle BDF, dont les costés sont l’vn $x$ et l’autre $a$, leurs quarrés, qui sont $xx+aa$, sont esgaux à celuy de la baze, qui est $\frac{ccxx}{xx-2ax+aa}$, de façon que multipliant le tout par $xx-2ax+aa$, on trouue que l’Equation est $x^4-2ax^3+2aaxx-2a^3x+a^4\ad ccxx$, ou bien AT VI, 463 $x^4-2ax^3+(2aa-cc)xx-2a^3x+a^4\ad0$. Et on connoist par les reigles precedentes, que sa racine, qui est la longeur de la ligne DF, est $+\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+\frac{1}{4}\,cc}-\sqrt{\frac{1}{4} \,cc-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$.

Que si on posoit BF, ou CE, ou BE pour la quantité inconnuë, on viendroit derechef à vne Equation, en laquelle il y auroit 4 dimensions, mais qui seroit plus aysée à démesler, et on y viendroit assés aysement ; au lieu que si c’estoit DG qu’on supposast, on viendroit beaucoup plus difficilement à l’Equation, mais aussy elle seroit tres simple. Ce que ie mets icy pour vous auertir, que lorsque le Problesme proposé n’est point solide, si en le cherchant par vn chemin on vient à vne Equation fort composée, on peut ordinairement venir à vne plus simple, en le cherchant par vn autre.

Ie pourrois encore aiouster diuerses reigles pour démesler les Equations, qui vont au Cube, ou au Quarré Maire, p. 389
Image haute résolution sur Gallica de quarré, mais elles seroient superfluës ; car lorsque les Problesmes sont plans, on en peut touiours trouuer la construction par celles cy.

Regle generale pour reduire les Equatiõs qui passent le quarré de quarré.Ie pourrois aussy en adiouster d’autres pour les Equations qui montent iusques au sursolide, ou au Quarré de cube, ou au delà, mais i’ayme mieux les comprendre toutes en vne, et dire en general, que AT VI, 464 lorsqu’on a tasché de les reduire à mesme forme, que celles d’autant de dimensions, qui vienent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu’ayant dénombré tous les moyens, par lesquels cete multiplication est possible, la chose n’a pû succeder par aucun, on doit s’assurer qu’elles ne sçauroient estre reduites à de plus simples. En sorte que si la quantité inconnuë à 3 onu 4 dimensions, le Problesme pour lequel on la cherche est solide ; et si elle en a 5, onu 6, il est d’vn degré plus composé ; et ainsi des autres.

Au reste i’ay omis icy les demonstrations de la plus part de ce que iay dit à cause qu’elles m’ont semblé si faciles, que pourvû que vous preniés la peine d’examiner methodiquement si iay failly, elles se presenteront à vous d’elles mesmes : et il sera plus vtile de les apprendre en cete façon, qu’en les lisant.

Facon generale pour construire tous les problesmes solides, reduits vne Equatiõ de trois ou quatre dimensions.Or quand on est assuré, que le Problesme proposé est solide, soit que l’Equation par laquelle on le cherche monte au quarré de quarré, soit qu’elle ne monte que iusques au cube, on peut tousiours en trouuer la racine par l’vne des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou mesme par quelque partie de l’vne d’elles, tant petite qu’elle puisse estre ; en ne se seruãt au reste que de lignes droites, et de cercles. Mais ie me contenteray icy de Maire, p. 390
Image haute résolution sur Gallica donner vne reigle generale pour les trouuer toutes par le moyen d’vne Parabole, à cause qu’elle est en quelque façon la plus simple.

Premierement il faut oster le second terme de l’Equation proposée, s’il n’est desia nul, et ainsi la reduire à telle forme, $z^3\ad*.apz.aaq$, AT VI, 465 si la quantité inconnuë n’a que trois dimensions ; ou bien à telle, $z^4\ad*.apzz.aaqz.a^3r$, si elle en a quatre ; ou bien en prenant $a$ pour l’vnité, à telle, $z^3\ad*.pz.q$, et à telle $z^4\ad*.pzz.qz.r$.

Maire, p. 391
Image haute résolution sur Gallica Aprés cela supposant que la Parabole FAG est desia descrite, et que son aissieu est ACDKL, et que son costé droit est $a$, ou $1$, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cete Parabole, et que A en est le sommet ; Il faut faire CD $\ad\frac{1}{2}\,p$, et la prendre du mesme costé, qu’est le point A au regard du point C, s’il y a $+p$ en l’Equation ; mais s’il y a $-p$ il faut la prendre de l’autre costé. Et du point D, ou bien, si la quantité $p$ estoit nulle, du point C il faut esleuer vne ligne à angles droits iusques à E, en sorte qu’elle soit esgale $\frac{1}{2}\,q$. Et enfin AT VI, 466 du centre E il faut descrire le cercle FG, dont Maire, p. 392
Image haute résolution sur Gallica le demidiametre soit AE, si l’Equation n’est que cubique, en sorte que la quantité $r$ soit nulle. Mais quand il y a $+r$ il faut dans cete ligne AE prolongée, prendre d’vn costé AR esgale à $r$, et de l’autre AS esgale au costé droit de la Parabole qui est $1$, et ayant descrit vn cercle dont le diametre soit RS, il faut faire AH perpẽdiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celuy par où l’autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a $-r$ il faut aprés auoir ainsi trouué la ligne AH, AT VI, 467 inscrire AI, qui luy soit esgale, dans vn autre cercle, dont AE soit le diametre, et lors c’est par le point I, Maire, p. 393
Image haute résolution sur Gallica que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut coupper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 poins, desquels tirant des perpendiculaires sur l’aissieu, on a toutes les racines de l’Equation tant vrayes, que fausses. À sçauoir si la quantité $q$ est marquée du signe $+$, les vrayes racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouueront du mesme costé de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : Mais au contraire si cete quantité $q$ est marquée du signe $-$ les vrayes seront celles de l’autre costé ; et les fausses, ou moindres que rien seront du costé où est E le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne couppe, ny ne touche la Parabole en aucun point, cela tesmoigne qu’il n’y a aucune racine ny vraye ny fausse en l’Equation, et qu’elles sont toutes imaginaires. En sorte que cete reigle est la plus generale, et la plus accomplie qu’il soit possible de souhaiter.

Et la demonstration en est fort aysée. Car si la ligne GK, trouuée par cete construction, se nomme $z$, AK sera $zz$ à cause de la Parabole, en laquelle GK doit estre moyene proportionelle, entre AK, et le costé droit qui est $1$. puis si de AK i’oste AC, qui est $\frac{1}{2}$, et CD qui est $\frac{1}{2}\,p$, il reste DK, ou EM, qui est $zz-\frac{1}{2}\,p-\frac{1}{2}$, dont le quarré est $z^4-pzz-zz+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}$. AT VI, 468 Et à cause que DE, ou KM est $\frac{1}{2}\,q$, la toute GM est $z+\frac{1}{2}\,q$, dont le quarré est $zz+qz+\frac{1}{4}\,qq$, et assemblant ces deux quarrés, on a $z^4-pzz+qz+\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}$, Maire, p. 394
Image haute résolution sur Gallica pour le quarré de la ligne GE, à cause qu’elle est la baze du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cete mesme ligne GE est le demidiametre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d’autres termes, à sçauoir ED estant $\frac{1}{2}\,q$, et AD estant $\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{2}$, EA est $\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}}$ à cause de l’angle droit ADE, puis HA estant moyene proportionelle entre AS qui est $1$ et AR qui est $r$, elle est $\sqrt{r}$. Et à cause de l’angle droit EAH, le quarré de HE, ou EG est $\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}+r$ : si bien que il y a Equation Maire, p. 395
Image haute résolution sur Gallica entre cete somme et la precedente. ce qui est le mesme que $z^4\ad*pzz-qz+r$. Et par consequent la ligne trouuée GK qui a esté nommée $z$ est la racine de cete Equation. ainsi qu’il falloit demonstrer. Et si vous appliqués ce mesme calcul à tous les autres cas de cete reigle, en changeant les signes $+$ et $-$ selon l’occasion, vous y trouuerés vostre conte en mesme sorte, sans qu’il soit besoin que ie m’y areste.

L’inuention de deux moyenes proportionelles.Si on veut donc suiuant cete reigle trouuer deux moyennes proportionelles entre les lignes $a$ et $q$ ; chascun sçait que posant $z$ pour l’vne, comme $a$ est à $z$, ainsi $z$ à $\frac{zz}{a}$, et $\frac{zz}{a}$ à $\frac{z^3}{aa}$ ; de façon qu’il y a Equation entre $q$ et $\frac{z^3}{aa}$, c’est à dire, $z^3\ad**aaq$. Et la Parabole FAG estant Maire, p. 396
Image haute résolution sur Gallica descrite, auec la partie de son aissieu AC, qui est $\frac{1}{2}\,a$ la moitié du costé droit ; il faut du point C esleuer la perpendiculaire CE esgale à $\frac{1}{2}\,q$, et du centre E, par A, descriuant le cercle AF, AT VI, 470 on trouue FL, et LA, pour les deux moyennes cherchées.

La facon de diuiser vn angle en trois.Tout de mesme si on veut diuiser l’angle NOP, ou bien l’arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties esgales ; faisant NO $\!\!\ad1$, pour le rayon du cercle, et NP $\!\!\ad q$, pour la subtendue de l’arc donné, et NQ $\!\!\ad z$, pour la subtendue du tiers de cet arc ; l’Equation vient, $z^3\ad*3z-q$. Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallele à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte Maire, p. 397
Image haute résolution sur Gallica que NO estant $1$, et NQ estant $z$, QR est $zz$, et RS est $z^3$ : Et à cause qu’il s’en faut seulement RS, ou $z^3$, que la ligne NP, qui est $q$, ne soit triple de NQ, qui est $z$, on a $q\ad 3z-z^3$ ou bien, $z^3\ad*3z-q$.

Puis la Parabole FAG estant descrite, et CA la moitié de son costé droit principal estant $\frac{1}{2}$, si on prend CD $\!\!\ad\frac{3}{2}$, et la perpendiculaire DE $\!\!\ad\frac{1}{2}\,q$, et que du centre E, par A, on descriue le cercle FA$g$G, il couppe cete Parabole aux trois poins F, $g$, et G, sans conter le point AT VI, 471 A qui en est le sommet. Ce qui monstre qu’il y a trois racines en cete Equation, à sçauoir les deux GK et $gk$, qui sont vrayes ; et la troisiesme qui est fausse, à sçauoir FL. Et de ces deux vrayes c’est $gk$ la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne NQ qui estoit cherchée. Car l’autre GK, est esgale à NV, la subtendue de la troisiesme partie de l’arc NVP, qui auec l’autre arc NQP acheue le cercle. Et la fausse FL est esgale à ces deux ensemble QN et NV, ainsi qu’il est aysé à voir par le calcul.

Que tous les problesmes solides se peuuent reduire à ces deux constructions.Il seroit superflus que ie m’arestasse à donner icy d’autres exemples ; car tous les Problesmes qui ne sont que solides se peuuent reduire à tel point, qu’on n’a aucun besoin de cete reigle pour les construire, sinon en tant qu’elle sert à trouuer deux moyennes proportionelles, ou bien à diuiser vn angle en trois parties esgales. Ainsi que vous connoistrés en considerant, que leurs difficultés peuuent tousiours estre comprises en des Equations, qui ne montent que iusque au quarré de quarré, ou au cube : Et que toutes celles qui montent au quarré de quarré, se reduisent au quarré, par le moyen de quelques autres, qui ne Maire, p. 398
Image haute résolution sur Gallica montent que iusques au cube : Et enfin qu’on peut oster le second terme de celles cy. En sorte qu’il n’y en a point qui ne se puisse reduire à quelq; vne de ces trois formes.
$z^3\ad*-pz+q$
$z^3\ad*+pz+q$
$z^3\ad*+pz-q$.

Or si on a $z^3\ad*-pz+q$, la reigle dont Cardan AT VI, 472 attribue l’inuention à vn nommé Scipio Ferreus, nous apprent que la racine est, $$\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{27}\,p^3}} -\sqrt{\textnormal{C}.-\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{27}\,p^3}}$$.

Comme aussy lorsqu’on a $z^3\ad*+pz+q$, et que le quarré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme, vne pareille reigle nous apprent que la racine est, $$\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}} +\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q-\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}}$$.

D’où il paroist qu’on peut construire tous les Problesmes, dont les difficultés se reduisent à l’vne de ces deux formes, sans auoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c’est à dire, pour trouuer deux moyennes proportionelles entre ces quantités et l’vnité.

Puis si on a $z^3\ad*+pz+q$, et que le quarré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme, en supposant le cercle NQPV, dont le demidiametre NO soit $\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, c’est à dire la moyenne proportionelle entre le tiers de la quantité donnée $p$ et l’vnité ; et supposant aussy la ligne NP iunscrite dans ce cercle qui soit $\frac{3q}{p}$, Maire, p. 399
Image haute résolution sur Gallica c’est à dire qui soit à l’autre quantité donnée $q$ comme l’vnité est au tiers de $p$ ; il ne faut que diuiser chascun des deux arcs NQP et NVP en trois parties esgales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l’vn, AT VI, 473 et NV la subtendue du tiers de l’autre, qui iointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a $z^3\ad*pz-q$, en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO soit $\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, et l’inscrite NP soit $\frac{3p}{q}$, NQ la subtenduë du tiers de l’arc NQP sera l’vne des racines cherchées, et NV la subtendue du tiers de l’autre arc sera l’autre. Au moins si le quarré de la moitié du dernier terme, n’est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme. s’il estoit plus grand, la ligne NP ne pourroit estre inscrite dans le cercle, à cause qu’elle seroit plus longue que son diametre : Ce qui seroit cause que les deux vrayes racines Maire, p. 400
Image haute résolution sur Gallica de cete Equation ne seroient qu’imaginaires, et qu’il n’y en auroit de reelles que la fausse, qui suiuant la reigle de Cardan seroit, $\sqrt{\textnormal{C}.\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}} +\sqrt{\textnormal{C}.\frac{1}{2}\,q-\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}}$.

La facon d’exprimer la valeur de toutes les racines des Equations cubiques : et en suite de toutes celles qui ne montent que iusques au quarré de quarré.Au reste il est remarquer que cete façon d’exprimer AT VI, 474 la valeur des racines par le rapport qu’elles ont aux costés de certains cubes dont il n’y a que le contenu qu’on connoisse, n’est en rien plus intelligible, ny plus simple, que de les exprimer par le rapport qu’elles ont aux subtenduës de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné. En sorte que toutes celles des Equations cubiques qui ne peuuent estre exprimées par les reigles de Cardan, le peuuent estre autant ou plus clairement par la façon icy proposée.

Car si par exemple, on pense connoistre la racine de cete Equation, $z^3\ad*+pz+q$ à cause qu’on sçait qu’elle est composée de deux lignes. dont l’vne est le costé d’vn cube, duquel le contenu est $\frac{1}{2}\,q$, adiousté au costé d’vn quarré, duquel derechef le contenu est $\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}p^3$ ; Et l’autre est le costé d’vn autre cube, dont le contenu est la difference, qui est entre $\frac{1}{2}\,q$, et le costé de ce quarré dont le contenu est $\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}p^3$, qui est tout ce qu’on en apprent par la reigle de Cardan. Il n’y a point de doute qu’on ne connoisse autant ou plus distinctement la racine de celle cy, $z^3\ad*+pz-q$, en la considerant inscrite dans vn cercle, dont le demidiametre est $\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, et sçachant qu’elle y est la subtenduë d’vn arc dont le triple a pour sa subtendue $\frac{3q}{p}$. Mesme ces termes Maire, p. 401
Image haute résolution sur Gallica sont beaucoup moins embarassés que les autres, et ils se trouueront beaucoup plus cours si on veut vser de quelque chiffre particulier AT VI, 475 pour exprimer ces subtenduës, ainsi qu’on fait du chiffre $\sqrt{\textnormal{C}.}$ pour exprimer le costé des cubes.

Et on peut aussy en suite de cecy exprimer les racines de toutes les Equations qui montent iusques au quarré de quarré, par les reigles cy dessus expliquées. En sorte que ie ne sçache rien de plus à desirer en cete matiere. Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu’on les exprime en termes plus simples, ny qu’on les determine par aucune construction qui soit ensemble plus generale et plus facile.

Pourquoy les problesmes solides ne peuuent estre construits sans les sections coniques, ny ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.Il est vray que ie n’ay pas encore dit sur quelles raisons ie me fonde, pour oser ainsi assurer, si vne chose est possible, ou ne l’est pas. Mais si on prent garde comment, par la methode dont ie nme sers, tout ce qui tombe sous la consideration des Geometres, se reduist à vn mesme genre de Problesmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque Equation ; on iugera bien qu’il n’est pas malaysé de faire vn dénombrement de toutes les voyes par lesquelles on les peut trouuer, qui soit suffisant pour demonstrer qu’on a choisi la plus generale, et la plus simple. Et particulierement pour ce qui est des Problesmes solides, que iay dit ne pouuoir estre construis, sans qu’on y employe quelque ligne plus composée que la circulaire, c’est chose qu’on peut assés trouuer, de ce qu’ils se reduisent tous à deux constructions ; en l’vne desquelles il faut auoir tout ensemble les deux poins, qui determinent deux moyenes proportionelles entre deux Maire, p. 402
Image haute résolution sur Gallica lignes données ; et en l’autre les deux poins, qui diuisent en trois parties esgales vn arc donné : Car d’autant que la courbure du cercle ne depend, que d’vn simple rapport de toutes ses AT VI, 476 parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussy s’en seruir qu’a determiner vn seul point entre deux extremes, comme à trouuer vne moyenne proportionelle entre deux lignes droites données, ou diuiser en deux vn arc donné : Au lieu que la courbure des sections coniques, dependant tousiours de deux diuerses choses, peut aussy seruir à determiner deux poins differens.

Mais pour cete mesme raison il est impossible, qu’aucun des Problesmes qui sont d’vn degré plus composés que les solides, et qui presupposent l’inuention de quatre moyennes proportionelles, ou la diuision d’vn angle en cinq parties esgales, puissent estre construits par aucune des sections coniques. C’est pourquoy ie croyray faire en cecy tout le mieux qui se puisse, si ie donne vne reigle generale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se descrit par l’intersectiõ d’vne Parabole et d’vne ligne droite en la façon cy dessus expliquée. car i’ose assurer qu’il n’y en a point de plus simple en la nature, qui puisse seruir à ce mesme effect ; Et vous aués vû comme elle suit immediatement les sections coniques, en cete question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doiuent estre receuës en Geometrie.

Façon generale pour construire tous les problesmes reduits à vne Equation qui n’a point plus de six dimẽsions.Vous sçaués desia comment, lorsqu’on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problesmes, on les peut tousiours reduire quelque Equation, qui ne monte que iusques au quarré de cube, ou Maire, p. 403
Image haute résolution sur Gallica au sursolide. Puis vous sçaués aussy comment, en augmentant la valeur des racines de cete Equation, on peut tousiours faire qu’elles deuienent toutes vrayes ; AT VI, 477 et auec cela que la quãtité connuë du troisiesme terme soit plus grande que le quarré de la moitié de celle du second : Et enfin comment, si elle ne monte que iusques au sursolide, on la peut hausser iusques au quarré de cube ; et faire que la place d’aucun de ses termes ne manque d’estre remplie. Or affin que toutes les difficultés, dont il est icy question, puissent estre resoluës par vne mesme reigle, ie desire qu’on face toutes ces choses, et par ce moyen qu’on les reduise tousiours à vne Equation de telle forme, $y^6-py^5+qy^4-ry^3+syy-ty+v\ad0$, et en laquelle la quantité nommée $q$ soit plus grande que le quarré de la moitié de celle qui est nommée $p$.

Maire, p. 404
Image haute résolution sur Gallica Puis ayant fait ala ligne BK indefiniement longue des deux costés ; et du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit $\frac{1}{2}\,p$ ; il faut dans vn plan separé descrire vne Parabole, comme CDF dont le costé droit principal soit $\sqrt{\frac{t}{\sqrt{v}}+q-\frac{1}{4}\,pp}$, que ie nommeray $n$ pour abreger. Aprés cela il faut poser le plan dans lequel est cete Parabole sur celuy où sont les lignes AB AT VI, 478 et BK, en sorte que son aissieu DE se rencontre iustement au dessus de la ligne droite BK : Et ayant pris la partie de cet aissieu, qui est entre les poins E et D, esgale à $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, il faut appliquer sur ce point E vne longue reigle, en telle façon qu’estant aussy appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure tousiours iointe à ces deux poins, pendant qu’on haussera ou baissera la Parabole Maire, p. 405
Image haute résolution sur Gallica tout le long de la ligne BK, sur laquelle son aissieu est appliqué. au moyen de quoy l’intersection de cete Parabole, et de cete reigle, qui se fera au point C, descrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous auons besoin de nous seruir pour la construction du Problesme proposé. Car aprés qu’elle est ainsi descrite, si on prent le point L en la ligne BK, du costé vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu’on face BL esgale à DE, c’est à dire à $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$ ; Puis du point L, vers B, qu’on prene en la mesme ligne BK, la ligne LH, esgale à $\frac{t}{2n\sqrt{v}}$ ; et que du point H ainsi trouué, on tire à angles droits, du costé qu’est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longeur soit $\frac{r}{2nn}+\frac{\sqrt{v}}{nn}+\frac{pt}{4nn\sqrt{v}}$, qui pour abreger sera nommée $\frac{m}{nn}$ : Et aprés, ayant ioint les poins L et I, qu’on descriue le cercle LPI, dont IL soit le diametre ; et qu’on inscriue en ce cercle la ligne LP dont la longeur soit $\sqrt{\frac{s+p\sqrt{v}}{nn}}$ : Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouué, qu’on descriue le cercle PCN. Ce cercle couppera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de poins qu’il y aura de racines en l’Equation : En sorte que les perpendiculaires tirées de ces poins sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et AT VI, 479 semblables, seront les racines cherchées. Sans qu’il y ait aucune exception ny aucun deffaut en cete reigle. Car si la quantité $s$ estoit si grande, à proportion des autres $p$, $q$, $r$, $t$, et $v$, que la ligne LP se trouuast plus grande que le diametre du cercle Maire, p. 406
Image haute résolution sur Gallica IL, en sorte qu’elle n’y pust estre inscrite, il n’y auroit aucune racine en l’Equation proposée qui ne fust imaginaire : Non plus que si le cercle IP estoit si petit, qu’il ne coupast la courbe ACN en aucun point. Et il la peut couper en six differens, ainsi qu’il peut y auoir six diuerses racines en l’Equation. Mais lorsqu’il la coupe en moins, cela tesmoigne qu’il y a quelques vnes de ces racines qui sont esgales entre elles, ou bien qui ne sont qu’imaginaires.

Maire, p. 407
Image haute résolution sur Gallica Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouuement d’vne Parabole vous semble incommode, il est aysé de trouuer plusieurs autres moyens pour la descrire. Comme si ayant les mesmes quantités que deuant pour AB et BL ; et la mesme pour BK, qu’on auoit posée pour le costé droit principal de la Parabole ; on descrit le demicercle AT VI, 480 KST dont le centre soit pris à discretion dans la ligne BK, en sorte qu’il couppe quelq; part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, où il finist, on prene vers K la ligne TV, esgale à BL ; puis ayant tiré la ligne SV, qu’on en tire vne autre, qui luy soit parallele, par le point A, comme AC ; et qu’on en tire aussy vne autre par S, qui soit parallele à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux paralleles se rencontrent, sera l’vn de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouuer, en mesme sorte, autant d’autres qu’on en desire.

Maire, p. 408
Image haute résolution sur Gallica Or la demonstration de tout cecy est assés facile. car appliquant la reigle AE auec la Parabole FD sur le point C ; comme il est certain qu’elles peuuent y estre appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est descrite par leur intersection ; si CG se nomme $y$, GD sera $\frac{yy}{n}$, à cause que le costé droit, qui est $n$, est à CG, comme CG à GD. Et ostant DE, qui est $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$de GD, on a $\frac{yy}{n}-\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, pour GE. Puis à cause que AB est à BE, comme CG est à GE ; AB estant $\frac{1}{2}\,p$, BE est $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$.

Et tout de mesme en supposant que le point C de la courbe a esté trouué par l’intersectiõ des lignes droites, SC parallele à BK, et AC parallele SV. SB qui est esgale à CG, est $y$ : et BK estant esgale au costé droit de la Parabole, que iay nommé $n$, BT est $\frac{yy}{n}$. car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT. Et TV Maire, p. 409
Image haute résolution sur Gallica estant la mesme que BL, c’est à dire $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, BV est $\frac{yy}{n}-\frac{2\sqrt{v}}{pn}$ : et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par consequent $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$ comme deuant, AT VI, 481 d’où on voit que c’est vne mesme ligne courbe qui se descrit en ces deux façons.

Aprés cela, pource que BL et DE sont esgales, DL et BE le sont aussy : de façon qu’adioustãt LH, qui est $\frac{t}{2n\sqrt{v}}$, à DL, qui est $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$, on a la toute DH, qui est $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}+\frac{t}{2n\sqrt{v}}$ ; et en ostant GD, qui est $\frac{yy}{n}$ on a GH, qui est $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}+\frac{t}{2n\sqrt{v}}-\frac{yy}{n}$. Ce que i’escris par ordre en cete sorte GH $\!\!\ad\frac{-y^3+\frac{1}{2}\,pyy +\frac{ty}{2\sqrt{v}}-\sqrt{v}}{ny}$.

AT VI, 482 Et le quarré de GH est, $\frac{y^6-py^5+\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}+\frac{1}{4}\,pp\Big) y^4+\Big(+2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3}{nnyy}$ $+\frac{+\Big(-p\sqrt{v}+\frac{tt}{4v}\Big)yy-ty+v}{nnyy}$. Et en quelque autre endroit de cete ligne courbe qu’on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouuera tousiours que le quarré de la ligne droite, qui est entre le point H et celuy où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut estre exprimé en ces mesmes termes, et auec les mesmes signes $+$ et $-$.

De plus IH estant $\frac{m}{nn}$, et LH estant $\frac{t}{2n\sqrt{v}}$, IL est $\sqrt{\frac{mm}{n^4}+\frac{tt}{4nnv}}$, à cause de l’angle droit IHL ; et LP estãt Maire, p. 410
Image haute résolution sur Gallica $\sqrt{\frac{s}{nn}+\frac{p\sqrt{v}}{nn}}$, IP ou IC est, $\sqrt{\frac{mm}{n^4}+\frac{tt}{4\,nnv}-\frac{s}{nn}-\frac{p\sqrt{v}}{nn}}$, à cause aussy de l’angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la difference qui est entre IH, et HM ou CG, c’est dire entre $\frac{m}{nn}$ et $y$, en sorte que son quarré est tousiours $\frac{mm}{n^4}-\frac{2my}{nn}+yy$, qui estant osté du quarré Maire, p. 411
Image haute résolution sur Gallica de IC, il reste $\frac{tt}{4\,nnv}-\frac{s}{nn}-\frac{p\sqrt{v}}{nn} +\frac{2my}{nn}-yy$ pour le quarré de CM, qui est esgal au quarré de GH AT VI, 483 desia trouué. Ou bien en faisant que cete somme soit diuisée comme l’autre par $nnyy$, on a $\frac{-nny^4+2my^3-p\sqrt{v}\,yy-syy+\frac{tt}{4v}\,yy}{nnyy}$. Puis remettant $\frac{t}{\sqrt{v}}\,y^4+qy^4-\frac{1}{4}\,ppy^4$, pour $nny^4$ ; et $ry^3+2\sqrt{v}\,y^3+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\,y^3$ pour $2my^3$ : et multipliant l’vne et l’autre somme par $nnyy$, on a $y^6-py^5+\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}+\frac{1}{4}\,pp\Big)y^4 +\Big(2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3+\Big(-p\sqrt{v}+\frac{tt}{4v} \Big)yy-ty+v$ esgal à $\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}-q +\frac{1}{4}\,pp\Big)y^4+\Big(r+2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3 +\Big(-p\sqrt{v}-s+\frac{tt}{4v})\Big)yy$. C’est à dire qu’on a, $y^6-py^5+qy^4-ry^3+syy-ty+v\ad0$. D’où il paroist que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cete Equation, qui est ce qu’il falloit demonstrer.

L’inuention de quatre moyenes proportionellesAinsi donc si on veut trouuer quatre moyennes proportionelles entre les lignes $a$ et $b$, ayant posé $x$ pour la premiere, l’Equation est $x^5****-a^4b\ad0$ ou bien $x^6****-a^4bx*\ad0$. AT VI, 484 Et faisant $y-a\ad x$ il vient $y^6-6ay^5+15aay^4-20a^3y^3+15a^4yy+(-6a^5-a^4b)y+a^6+a^5b\ad0$. C’est pourquoy il faut prendre $3a$ pour la ligne AB, et $\sqrt{\frac{6a^3+aab}{\sqrt{aa+ab}}+6aa}$ pour BK, ou le costé droit de la Parabole Maire, p. 412
Image haute résolution sur Gallica que iay nommé $n$. Et $\frac{a}{3n}\,\sqrt{aa+ab}$ pour DE ou BL. Et aprés auoir descrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire LH $\ad\frac{6a^3+aab}{2n\sqrt{aa+ab}}$ et HI $\ad\frac{10a^3}{nn}+\frac{aa}{nn}\,\sqrt{aa+ab}+\frac{18a^4+3a^3b} {2nn\sqrt{aa+ab}}$. Et LP $\ad\sqrt{\frac{15a^4+6a^3\sqrt{aa+ab}}{nn}}$. Car le cercle qui ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouué, couppera la courbe aux deux poins C et N ; desquels ayant tiré les perdpendiculaires NR et CG, si la moindre, NR, est ostée de la plus grande, CG, le reste sera, $x$, la premiere des quatre moyennes proportionelles cherchées.

Il est aysé en mesme façon de diuiser vn angle en cinq parties esgales, et d’inscrire vne figure d’vnze ou treze costés esgaux dans vn cercle, et de trouuer vne infinité d’autres exemples de cete reigle.

Toutefois il est à remarquer, qu’en plusieurs de ces exemples, il peut arriuer que le cercle couppe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnoistre : et ainsi AT VI, 485 que cete construction ne soit pas commode pour la pratique. À quoy il seroit aysé de remedier en composant d’autres regles, à l’imitation de celle cy, comme on en peut composer de mille sortes.

Mais mon dessein n’est pas de faire vn gros liure, et ie tasche plutost de comprendre beaucoup en peu de mots : comme on iugera peut estre que iay fait, si on considere, qu’ayant reduit à vne mesme construction tous Maire, p. 413
Image haute résolution sur Gallica les Problesmes d’vn mesme genre, iay tout ensemble donné la façon de les reduire à vne infinité d’autres diuerses ; et ainsi de resoudre chascun deuxd’eux en vne infinité de façons. Puis outre cela qu’ayant construit tous ceux qui sont plans, en coupant d’vn cercle vne ligne droite ; et tous ceux qui sont solides, en coupant aussy d’vn cercle vne Parabole ; et enfin tous ceux qui sont d’vn degré plus composés, en coupant tout de mesme d’vn cercle vne ligne qui n’est que d’vn degré plus composée que la Parabole ; il ne faut que suiure la mesme voye pour construire tous ceux qui sont plus composés l’infini. Car en matiere de progressions Mathematiques, lorsqu’on a les deux ou trois premiers termes, il n’est pas malaysé de trouuer les autres. Et i’espere que nos neueux me sçauront gré, non seulement des choses que iay icy expliquées ; mais aussy de celles que iay omises volontairement, affin de leur laisser le plaisir de les inuenter.

FIN.