Image haute résolution sur Gallica AT VI, (367)
LA GEOMETRIE.
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Aduertissement.
Iusques icy i’ay tasché de me rendre intelligible à tout le monde, mais pour ce traité ie crains, qu’il ne pourra estre leu que par ceux, qui sçauent desia ce qui est dans les liures de Geometrie. car d’autant qu’ils contienent plusieurs verités fort bien demonstrées, i’ay creu qu’il seroit superflus de les repeter, et n’ay pas laissé pour cela de m’en seruir.
Image haute résolution sur Gallica AT VI, (369)
LA GEOMETRIE.
LIVRE PREMIER.
Des problesmes qu’on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.
Tous les Problesmes de Geometrie se peuuent facilement reduire à tels termes, qu’il n’est besoin par aprés que de connoistre la longeur de quelques lignes droites, pour les construire.
Commẽt le calcul d’Arithmetique se rapporte aux operations de Geometrie.Et comme toute l’Arithmetique n’est composée, que de quatre ou cinq operations, qui sont l’Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Diuision, et l’Extraction des racines, qu’on peut prendre pour vne espece de Diuision : Ainsi n’a-t-on autre chose à faire en Geometrie touchant les lignes qu’on cherche, pour les preparer à estre connuës, que leur en adiouster d’autres, ou en oster 
; Ou bien en ayant vne, AT VI, 370
que ie nommeray l’vnité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement estre prise à discretion, puis en ayant encore deux autres, en trouuer vne quatriesme, qui soit à l’vne de ces deux, comme l’autre est à l’vnité, ce qui est le mesme que la Multiplication ; ou bien en trouuer vne quatriesme, qui soit à l’vne de ces deux, comme l’vnité Maire, p. 298
Image haute résolution sur Gallica est à l’autre, ce qui est le mesme que la Diuision ; ou enfin trouuer vne, ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’vnité, et quelque autre ligne ; ce qui est le mesme que tirer la racine quarrée, onu cubique, etc. Et ie ne craindray pas d’introduire ces termes d’Arithmetique en la Geometrie, affin de me rendre plus intelligible.
La Multiplication.
Soit par exemple AB l’vnité, et qu’il faille multiplier BD par BC, ie n’ay qu’a ioindre les poins A et C, puis tirer DE parallele à CA, et BE est le produit de cete Multiplication.
La Diuision.Ou bien s’il faut diuiser BE par BD, ayant ioint les poins E et D, ie tire AC parallele à DE, et BC est le produit de cete diuision.
L’Extraction de la racine quarrée.
Ou s’il faut tirer la racine quarrée de GH, ie luy adiouste en ligne droite FG, qui est l’vnité, et diuisant FH en deux parties esgales au point K, du centre K ie tire le cercle FIH, puis esleuant du point G vne ligne droite iusques à I, à angles droits sur FH, c’est AT VI, 371
GI la racine cherchée. Ie ne dis rien icy de la racine cubique, ni des autres, à cause que i’en parleray plus commodement cy aprés.
Commét on peut vser de chiffres en Geometrie.Mais souuent on n’a pas besoin de tracer ainsi ces lignes Maire, p. 299
Image haute résolution sur Gallica sur le papier, et il suffist de les designer par quelques lettres, chascune par vne seule. Comme pour adiouster la ligne BD à GH, ie nomme l’vne 
$a$ et l’autre 
$b$, et escris 
$a+b$ ; Et 
$a-b$, pour soustraire $b$ d’$a$ ; Et 
$ab$, pour les multiplier l’vne par l’autre ; Et 
$\frac{a}{b}$, pour diuiser $a$ par $b$ ; Et 
$aa$ ou 
$a^2$ pour multiplier $a$ par soy mesme ; Et 
$a^3$, pour le multiplier encore vne fois par $a$, et ainsi à l’infini ; Et 
$\sqrt{a^2+b^2}$, pour tirer la racine quarrée de 
$a^2+b^2$ ; Et 
$\sqrt{\textnormal{C}.a^3-b^3+abb}$, pour tirer la racine cubique d’
$a^3-b^3+abb$, et ainsi des autres.
Où il est à remarquer que par $a^2$ ou 
$b^3$ ou semblables, ie ne conçoy ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me seruir des noms vsités en l’Algebre, ie les nomme des quarrés ou des cubes, etc.
Il est aussy à remarquer que toutes les parties d’vne mesme ligne, se doiuent ordinairement exprimer par autant de dimensions l’vne que l’autre, lorsque l’vnité n’est point déterminée en la question, comme icy $a^3$ en contient autant qu’
$abb$ ou $b^3$ dont se compose la ligne que i’ay nommée $\sqrt{\textnormal{C}.a^3-b^3+abb}$ : mais que ce n’est pas de mesme lorsque l’vnité est déterminée, à cause qu’elle peut estre sousentendue par tout où il y a trop ou trop peu de dimensions : comme s’il faut tirer la racine cubique de 
$aabb-b$, il faut penser que la quantité 
$aabb$ est diuisée vne fois par l’vnité, et que AT VI, 372
l’autre quantité $b$ est multipliée deux fois par la mesme.
Maire, p. 300
Image haute résolution sur Gallica Au reste affin de ne pas manquer à se souuenir des noms de ces lignes, il en faut tousiours faire vn registre separé, à mesure qu’on les pose ou qu’on les change, escriuant par exemple.
AB 
$\!\!\ad1$, c’est à dire, AB esgal à 
$1$.
GH 
$\!\!\ad a $ BD 
$\!\!\ad b$, etc.
Commẽt il faut venir aux Equatiõs qui seruent à resoudre les problesmes.Ainsi voulant resoudre quelque problesme, on doit d’abord le considerer comme desia fait, et donner des noms à toutes les lignes, qui semblent necessaires pour le construire, aussy bien à celles qui sont inconnuës, qu’aux autres. Puis sans considerer aucune difference entre ces lignes connuës, et inconnuës, on doit par courirparcourir la difficulté, selon l’ordre qui monstre le plus naturellement de tous en qu’ellequelle sorte elles dependent mutuellement les vnes des autres, iusques à ce qu’on ait trouué moyen d’exprimer vne mesme quantité en deux façons : ce qui se nomme vne Equation ; car les termes de l’vne de ces deux façons sont esgaux à ceux de l’autre. Et on doit trouuer autant de telles Equations, qu’on a supposé de lignes, qui estoient inconnuës. Ou bien s’il ne s’en trouue pas tant, et que nonobstant on n’omette rien de ce qui est desiré en la question, cela tesmoigne qu’elle n’est pas entierement determinée. Et lors on peut prendre à discretion des AT VI, 373
lignes connuës, pour toutes les inconnuës ausqu’ausquelles ne correspond aucune Equation. Aprés cela s’il en reste encore plusieurs, il se faut seruir par ordre de chascune des Equations qui restent aussy, soit en la considerant toute seule, soit en la comparant auec les autres, pour expliquer chascune de ces lignes inconnuës ; et faire Maire, p. 301
Image haute résolution sur Gallica ainsi en les demeslant, qu’il n’en demeure qu’vne seule, esgale à quelque autre, qui soit connuë, ou bien dont le quarré, ou le cube, ou le quarré de quarré, ou le sursolide, ou le quarré de cube, etc. soit esgal à ce, qui se produist par l’addition, ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l’vne soit connuë, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l’vnité, et ce quarré, ou cube, ou quarré de quarré, etc. multipliées par d’autres connuës. Ce que i’escris en cete sorte. 
$z\,\,\,\ad b$ ou 
$z^2\ad-az+bb$ ou 
$z^3\ad+az^2+bbz-c^3$ ou 
$z^4\ad az^3-c^3z+d^4$ etc.
C’est à dire, 
$z$, que ie prens pour la quantité inconnuë, est esgale à $b$, ou le quarré de $z$ est esgal au quarré de $b$ moins $a$ multiplié par $z$ ou le cube de $z$ est esgal à $a$ multiplié par le quarre de $z$ plus le quarré de $b$ multiplié par $z$ moins le cube de 
$c$ et ainsi des autres.
Et on peut tousiours reduire ainsi toutes les quantités AT VI, 374
inconnuës à vne seule, lorsque le Problesme se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussy par des sections coniques, ou mesme par quelque autre ligne qui ne soit que d’vn ou deux degrés plus composée. Mais ie ne m’areste point à expliquer cecy plus en detail, à cause que ie vous osterois le plaisir de l’apprendre de vous mesme, et l’vtilité de cultiuer vostre esprit en vous y exerceant, qui est à mon auis la principale, qu’on puisse Maire, p. 302
Image haute résolution sur Gallica tirer de cete science. Aussy que ie n’y remarque rien de si difficile, que ceux qui seront vn peu versés en la Geometrie commune, et en l’Algebre, et qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouuer.
C’est pourquoy ie me contenteray icy de vous auertir, que pourvû qu’en demeslant ces Equations on ne manque point à se seruir de toutes les diuisions, qui seront possibles, on aura infalliblement les plus simples termes, ausquels la question puisse estre reduite.
Quels sont les problesmes plans.Et que si elle peut estre resolue par la Geometrie ordinaire, c’est à dire, en ne se seruant que de lignes droites et circulaires tracées sur vne superficie plate, lorsque la derniere Equation aura esté entierement démeslée, il n’y restera tout au plus qu’vn quarré inconnu, esgal à ce qui se produist de l’Addition, ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussy connue.
Comment ils se resoluent.Et lors cete racine, ou ligne inconnue se trouue aysement. Car si i’ay par exemple 
AT VI, 375
$z^3\ad az+bb$ ie fais le triangle rectangle NLM, dont le costé LM est esgal à $b$, racine quarrée de la quantité connue 
$bb$, et l’autre LN est 
$\frac{1}{2}\,a$, la moitié de l’autre quantité connue, qui estoit multipliée par $z$ que ie suppose estre la ligne inconnue. puis prolongeant MN la baze de ce triangle, Maire, p. 303
Image haute résolution sur Gallica iusques à O, en sorte qu’NO soit esgale à NL, la toute OM est $z$ la ligne cherchée. Et elle s’exprime en cete sorte 
$z\ad\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+bb}$.
Que si iay 
$yy\ad -ay+bb$, et qu’
$y$ soit la quantité qu’il faut trouuer, ie fais le mesme triangle rectangle NLM, et de sa baze MN i’oste NP esgale à NL, et le reste PM est $y$ la racine cherchée. De façon que iay 
$y\ad-\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+bb}$. Et tout de mesme si i’auois 
$x^4\ad-ax^2+b^2$. PM seroit 
$x^2$. Et i’aurois 
$x\ad\sqrt{-\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+bb}}$ : et ainsi des autres.
AT VI, 376
Enfin si i’ay 
$z^2\ad az-bb$ : ie fais NL esgale à $\frac{1}{2}\,a$, et LM esgale à $b$ cõme deuãt, puis, au lieu de ioindre les poins MN, ie tire MQR parallele à LN. Et du centre N par L ayant descrit vn cercle qui la couppe aux poins Q et R, la ligne cherchée $z$ est MQ, oubiẽ MR, car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à sçauoir 
$z\ad\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa-bb}$, et 
$z\ad\frac{1}{2}\,a-\sqrt{\frac{1}{4}\,aa-bb}$.
Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne couppe ny ne touche la ligne droite MQR, il n’y a aucune racine en l’Equation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problesme proposé est impossible.
Maire, p. 304
Image haute résolution sur Gallica Au reste ces mesmes racines se peuuent trouuer par vne infinité d’autres moyens, et i’ay seulement voulu mettre ceux cy, comme fort simples, affin de faire voir qu’on peut construire tous les Problesmes de la Geometrie ordinaire, sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que i’ay expliquées. Ce que ie ne croy pas que les anciens ayent remarqué. car autrement ils n’eussent pas pris la peine d’en escrire tant de gros liures, où le seul ordre de leurs propositions nous fait connoistre qu’ils n’ont point eu la vraye methode pour les trouuer toutes, mais qu’ils ont seulement ramassé celles qu’ils ont rencontrées.
AT VI, 377
Exemple tiré de
Ie cite plutost la version latine que le texte grec affin que chascun l’entende plus aysement.Quem autem dicit (
Et vn peu aprés il explique ainsi qu’ellequelle est cete question.
At locus adtres, et quatuor lineas, in quo (
Image haute résolution sur Gallica rectis lineis ab uno et eodem puncto, ad tres lineas in datis angulis rectae lineae ducantur, et data sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquae : punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unam ex tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas AT VI, 378
lineas positione datas in datis angulis lineae ducantur ; et rectanguli duabus ductis contenti ad contentum duabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datuam coni sectionem positione continget. Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas ; quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat : earum unam, neque primam, et quae manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. propositiones autem ipsarum hae sunt.
Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur rectae lineae in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea, punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur ; rursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit proportio cuiuspiã contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus.
Ou ie vous prie de remarquer en passant, que le scrupule, que faisoient les anciens d’vser des termes de l’Arithmetique en la Geometrie, qui ne pouuoit proceder, Maire, p. 306
Image haute résolution sur Gallica que de ce qu’ils ne voyoient pas assés clairement leur rapport, causoit beaucoup d’obscurité, et d’embaras, en la façon dont ils s’expliquoient. car
acquiescunt autem his, qui paulo ante talia interpretati AT VI, 379
sunt. neque unum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur. Licebit autẽ per coniunctas proportiones haec, et dicere, et demonstrare uniuerse in dictis proportionibus, atque his in hunc modum. Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectae lineae in datis angulis, et data sit proportio coniuncta ex ea, quam habet una ductarum ad unam, et altera ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua ad datam lineam, si sint septem ; si vero octo, et reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares vel pares multitudine, cum haec, ut dixi, loco ad quatuor lineas respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.
La question donc qui auoit esté commencée à resoudre par 
Image haute résolution sur Gallica composé des deux qui restent, et d’vne autre ligne donnée. Ou s’il y en a six, que le parallelepipede cõposé de trois ait la proportion donnée AT VI, 380
auec le parallelepipede des trois autres. Ou s’il y en a sept, que ce qui se produist lorsqu’on en multiplie quatre l’vne par l’autre, ait la raison donnée auec ce qui se produist par la multiplication des trois autres, et encore d’vne autre ligne donnée ; Ou s’il y en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée auec le produit des quatre autres. Et ainsi cete question se peut estendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu’il y a tousiours vne infinité de diuers poins qui peuuent satisfaire à ce qui est icy demandé, il est aussy requis de connoistre, et de tracer la ligne, dans laquelle ils doiuent tous se trouuer. Et
Response à la question de 
Image haute résolution sur Gallica compas, ny ne faisant autre chose, que ce qui a desia esté dit ; excepté seulement lorsqu’il y a cinq lignes données, si elles sont toutes AT VI, 381
paralleles. Auquel cas, comme aussy lorsque la question est proposée en six, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut tousiours trouuer les poins cherchés par la Geometrie des solides ; c’est à dire en y employant quelqu’vne des trois sections coniques. Excepté seulement lorsqu’il y a neuf lignes données, si elles sont toutes paralleles. Auquel cas derechef, et encore en 10, 11, 12, ou 13 lignes on peut trouuer les poins cherchés par le moyen d’vne ligne courbe qui soit d’vn degré plus composée que les sections coniques. Excepté en treize si elles sont toutes paralleles, auquel cas, et en quatorze, 15, 16, et 17 il y faudra employer vne ligne courbe encore d’vn degré plus composée que la precedente. et ainsi à l’infini.
Puis iay trouué aussy, que lorsqu’il n’y a que trois ou quatre lignes données, les poins cherchés se rencontrent tous, non seulement en l’vne des trois sections coniques, mais quelquefois aussy en la circonference d’vn cercle, ou en vne ligne droite. Et que lorsqu’il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit, tous ces poins se rencontrent en quelque vne des lignes, qui sont d’vn degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible d’en imaginer aucune qui ne soit vtile à cete question ; mais ils peuuent aussy derechef se rencontrer en vne section conique, ou en vn cercle, ou en vne ligne droite. Et s’il y en a neuf, ou 10, ou 11, ou 12, ces poins se rencontrent en vne ligne, qui ne peut estre que d’vn degré plus composée que les precedentes ; mais toutes celles Maire, p. 309
Image haute résolution sur Gallica qui sont d’vn degré plus composées y peuuent seruir, et ainsi à l’infini.
Au reste la premiere, et la plus simple de toutes AT VI, 382
aprés les sections coniques, est celle qu’on peut descrire par l’intersection d’vne Parabole, et d’vne ligne droite, en la façon qui sera tantost expliquée. En sorte que ie pense auoir entierement satisfait à ce que
Soient AB, AD, EF, GH, etc. plusieurs lignes donnees par position, et qu’il faille trouuer vn point, comme C, duquel ayant tiré d’autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF, et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc. soient donnés, Maire, p. 310
Image haute résolution sur Gallica et que ce qui est produit par la multiplication d’vne partie de ces lignes, soit esgal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu’ils ayent quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.
Commẽt on doit poser les termes pour venir à l’Equation en cet exemple.Premierement ie suppose la chose comme desia faite, et pour me demesler de la cõfusion de toutes AT VI, 383
ces lignes, ie considere l’vne des données, et l’vne de celles qu’il faut trouuer, par exemple AB, et CB, comme les principales, et ausquelles ie tasche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne AB, qui est entre les poins A et B, soit nommé 
$x$. Et que BC soit nommé $y$. Et que toutes les autres lignes données soient prolongées, iusques à ce qu’elles couppent ces deux, aussy prolongées s’il est besoin, et si elles ne leur sont point paralleles. comme vous voyes icy qu’elles couppent la ligne AB aux poins A, E, G, et BC aux poins R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion, qui est entre les costés AB, et BR, est aussy donnée, et ie la pose comme de $z$ à $b$, de façon que AB estant $x$, RB sera 
$\frac{bx}{z}$, et la toute CR sera 
$y+\frac{bx}{z}$, à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tomboit entre C et B, CR seroit 
$y-\frac{bx}{z}$ ; et si C tomboit entre B et R, CR seroit 
$-y+\frac{bx}{z}$. Tout de mesme les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par consequent aussy la proportion qui est entre les costés CR, et CD, que ie pose comme de $z$ à $c$ : de façon que CR estant $y+\frac{bx}{z}$, Maire, p. 311
Image haute résolution sur Gallica CD sera 
$\frac{cy}{z}+\frac{bcx}{zz}$. Aprés cela pource que les lignes AB, AD, et EF sont données par position, la distance qui est entre les poins A et E est aussy donnée, et si on la nomme 
$k$, on aura EB esgal à 
$k+x$ ; mais ce seroit 
$k-x$, si le point B tomboit entre E et A ; et 
$-k+x$, si E tomboit entre A et B. Et pource que les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussy donnée, et ie la pose comme $z$ à 
$d$, si bien que BS est 
$\frac{dk+dx}{z}$, et la toute CS est 
$\frac{zy+dk+dx}{z}$ ; mais ce seroit 
$\frac{zy-dk-dx}{z}$, si le point S AT VI, 384
tomboit entre B et C ; et ce seroit 
$\frac{-zy+dk+dx}{z}$, si C tomboit entre B et S. De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et en suite la Maire, p. 312
Image haute résolution sur Gallica proportion de CS à CF, qui soit comme de $z$ à 
$e$, et la toute CF sera 
$\frac{ezy+dek+dex}{zz}$. En mesme façon AG que ie nomme 
$\ell$ est donnée, et BG est 
$\ell-x$, et à cause du triangle BGT la proportion de BG à BT est aussy donnée, qui soit comme de $z$ à 
$f$. et BT sera 
$\frac{f\ell-fx}{z}$, et CT 
$\!\!\ad\frac{zy+f\ell-fx}{z}$. Puis derechef la proportion de TC à CH est donnée, à cause du triangle TCH, et la posant comme de $z$ à 
$g$, on aura CH 
$\!\!\ad\frac{+gzy+fg\ell-fgx}{zz}$.
Et ainsi vous voyés, qu’en tel nombre de lignes données par position qu’on puisse auoir, toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés suiuant la teneur de la question, se peuuent tousiours exprimer chascune par trois termes ; dont l’vn est composé de la quantité inconnue $y$, multipliée, ou diuisee par quelque autre connue ; et l’autre de la quantité inconnue $x$, aussy multipliée ou diuisée par quelque autre AT VI, 385
connuë ; et le trosiesme d’vne quantité toute connuë. Excepté seulement si elles sont paralleles ; ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité $x$ sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celuy qui est composé de la quantité $y$ sera nul ; ainsi qu’il est trop manifeste pour que ie m’areste à l’expliquer. Et pour les signes 
$+$, et 
$-$, qui se ioignent à ces termes, ils peuuent estre changés en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyés aussy, que multipliant plusieurs de ces lignes l’vne par l’autre, les quantités $x$ et $y$, qui se trouuent dans le produit, n’y peuuent auoir que chascune autant de dimensions, qu’il y a eu de lignes, à l’explication Maire, p. 313
Image haute résolution sur Gallica desquelles elles seruent, qui ont esté ainsi multipliées : en sorte qu’elles n’auront iamais plus de deux dimensions, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ny plus de trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à l’infini.
Commẽt on trouue que ce problesme est plan, lorsqu’il n’est point proposé en plus de 5 lignes.De plus, à cause que pour determiner le point C, il n’y a qu’vne seule condition qui soit requise, à sçauoir que ce qui est produit par la multiplication d’vn certain nombre de ces lignes soit esgal, ou (ce qui n’est de rien plus malaysé) ait la proportion donnée, à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discretion l’vne des deux quantités inconnues $x$ ou $y$, et chercher l’autre par cete Equation. en laquelle il est euident que lorsque la question n’est point proposée en plus de cinq lignes, la quantité $x$ qui ne sert point à l’expression de la premiere peut touiours n’y auoir que deux dimensions. de façon AT VI, 386
que prenant vne quantité connuë pour $y$, il ne restera que 
$xx\ad+$ ou 
$-ax+$ ou 
$-bb$. Et ainsi on pourra trouuer la quantité $x$ auec la reigle et le compas, en la façon tantost expliquée. Mesme prenant successiuement infinies diuerses grandeurs pour la ligne $y$, on en trounuuera aussy infinies pour la ligne $x$, et ainsi on aura vne infinité de diuers poins, tels que celuy qui est marqué C, par le moyen desquels on descrira la ligne courbe demandée.
Il se peut faire aussy, la question estant proposée en six, ou plus grand nombre de lignes ; s’il y en a entre les données, qui soient paralleles à BA, ou BC, que l’vne des deux quantités $x$ ou $y$ n’ait que deux dimensions en Maire, p. 314
Image haute résolution sur Gallica l’Equation, et ainsi qu’on puisse trouuer le point C auec la reigle et le compas. Mais au contraire si elles sont toutes paralleles, encore que la question ne soit proposée qu’en cinq lignes, ce point C ne pourra ainsi estre trouué, à cause que la quantité $x$ ne se trouuant point en toute l’Equation, il ne sera plus permis de prendre vne quantité connuë pour celle qui est nommée $y$, mais ce sera elle qu’il faudra chercher. Et pource quellequ’elle aura trois dimensions, on ne la pourra trouuer qu’en tirant la racine d’vne Equation cubique. ce qui ne se peut generalement faire sans qu’on y employe pour le moins vne section conique. Et encore qu’il y ait iusques à neuf lignes données, pourvû qu’elles ne soient point toutes paralleles, on peut tousiours faire que l’Equation ne monte AT VI, 387
que iusques au quarré de quarré. au moyen de quoy on la peut aussy tousiours resoudre par les sections coniques, en la façon que i’expliqueray cy aprés. Et encore qu’il y en ait iusques à treize, on peut tousiours faire qu’elle ne monte que iusques au quarré de cube. en suite de quoy on la peut resoudre par le moyen d’vne ligne, qui n’est que d’vn degré plus composée que les sections coniques, en la façon que i’expliqueray aussy cy aprés. Et cecy est la premiere partie de ce que i’auois icy à demonstrer ; mais auant que ie passe à la seconde il est besoin que ie die quelque chose en general de la nature des lignes courbes.
Image haute résolution sur Gallica AT VI, (388)
LA GEOMETRIE.
LIVRE SECOND.
De la nature des lignes courbes.
Quelles sont les lignes courbes qu’on peut receuoir en Geometrie.Les anciens ont fort bien remarqué, qu’entre les Problesmes de Geometrie, les vns sont plans, les autres solides, et les autres lineaires, c’est à dire, que les vns peuuent estre construits, en ne traçant que des lignes droites, et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuuent estre, qu’on n’y employe pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y employe quelque autre ligne plus composée. Mais ie m’estonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué diuers degrés entre ces lignes plus composées, et ie ne sçaurois comprendre pourquoy ils les ont nommées mechaniques, plutost que Geometriques. Car de dire que ç’ait esté, à cause qu’il est besoin de se seruir de quelque machine pour les descrire, il faudroit reietter par mesme raison les cercles et les lignes droites ; vû qu’on ne les descrit sur le papier qu’auec vn compas, et vne reigle, qu’on peut aussy nommer des machines. Ce n’est pas non plus, à cause AT VI, 389
que les instrumens, qui seruent à les tracer, estant plus composés que la reigle et le compas, ne peuuent estre si iustes ; car il faudroit pour cete raison les reietter des Mechaniques, où la iustesse des ouurages qui sortent de la main est desirée ; plutost que de la Geometrie, ou c’est seulement la iustesse du raisonnemẽt qu’on recherche, Maire, p. 316
Image haute résolution sur Gallica et qui peut sans doute estre aussy parfaite touchant ces lignes, que touchant les autres. Ie ne diray pas aussy, que ce soit à cause qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu’ils se sont contentés qu’on leur accordast, qu’ils pussent ioindre deux poins donnés par vne ligne droite, et descrire vn cercle d’vn centre donné, qui passast par vn point donné. car ils n’ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu’on pust coupper tout cóne donné par vn plan donné. Et il n’est besoin de rien supposer pour traçer toutes les lignes courbes, que ie pretens icy d’introduire ; sinon que deux ou plusieurs lignes puissent estre meuës l’vne par l’autre, et que leurs intersections en marquent d’autres ; ce qui ne me paroist en rien plus difficile. Il est vray qu’ils n’ont pas aussy entierement receu les sections coniques en leur Geometrie, et ie ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont esté approuués par l’vsage ; mais il est, ce me semble, tres clair, que prenant comme on fait pour Geometrique ce qui est precis et exact, et pour Mechanique ce qui ne l’est pas ; et considerant la Geometrie comme vne science, qui enseigne generalement à connoistre les mesures de tous les cors, on n’en doit pas plutost exclure les lignes les plus composées que les AT VI, 390
plus simples, pourvû qu’on les puisse imaginer estre descrites par vn mouuement continu, ou par plusieurs qui s’entresuiuent et dont les derniers soient entierement reglés par ceux qui les precedent. car par ce moyen on peut tousiours auoir vne connoisance exacte de leur mesure. Mais peut estre que ce qui a empesché les anciens Geometres de reçeuoir Maire, p. 317
Image haute résolution sur Gallica celles qui estoient plus composées que les sections coniques, c’est que les premieres qu’ils ont considerées, ayant par hasard esté la Spirale, la Quadratrice, et semblables, qui n’appartienent veritablement qu’aux Mechaniques, et ne sont point du nombre de celles que ie pense deuoir icy estre receues, à cause qu’on les imagine descrites par deux mouuemens separés, et qui n’ont entre eux aucun raport qu’on puisse mesurer exactement, bienqu’ils ayent aprés examiné la Conchoide, la Cissoide, et quelque peu d’autres qui en sont, toutefois à cause qu’ils n’ont peut estre pas assés remarqué leurs proprietés, ils n’en ont pas fait plus d’estat que des premieres. Ou bien c’est que voyant, qu’ils ne connoissoient encore, que peu de choses touchant les sections coniques, et qu’il leur en restoit mesme beaucoup, touchant ce qui se peut faire auec la reigle et le compas, qu’ils ignoroient, ils ont creu ne deuoir point entamer de matiere plus difficile. Mais pource que i’espere que d’orenauant ceux qui auront l’adresse de se seruir du calcul Geometrique icy proposé, ne trouueront pas assés de quoy s’arester touchant les problesmes plans, ou solides ; ie croy qu’il est à propos que ie les inuite à d’autres recherches, où ils ne manqueront iamais d’exercice.
AT VI, 391
Voyés les lignes AB, AD, AF et semblables que ie suppose auoir esté descrites par l’ayde de l’instrument YZ, qui est composé de plusieurs reigles tellement iointes, que celle qui est marquée YZ estant arestée sur la ligne AN, on peut ouurir et fermer l’angle XYZ ; et que lorsqu’il est tout fermé, les poins B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A ; mais qu’a mesure qu’on Maire, p. 318
Image haute résolution sur Gallica 
l’ouure, la reigle BC, qui est iointe à angles droits auec XY au point B, pousse vers Z la reigle CD, qui coule sur YZ en faisant tousiours des angles droits auec elle, et CD pousse DE, qui coule tout de mesme sur YX en demeurant parallele à BC, DE pousse EF, EF pousse FG, cellecy pousse GH. Et on en peut conceuoir vne infinité d’autres, qui se poussent consequutiuement en mesme façon, et dont les vnes facent tousiours les mesmes angles auec YX, et les autres auec YZ. Or pendant AT VI, 392
qu’on ouure ainsi l’angle XYZ, le point B descrit la ligne AB, qui est vn cercle, et les autres poins D, F, H, où se font les intersections des autres reigles, descriuent d’autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernieres sont par ordre plus cõposés que la premiere, et cellecy plus que le cercle. mais ie ne voy pas ce qui peut empescher, qu’on ne concoiue aussy nettement, et aussy distinctement la description de cete premiere, que du cercle, ou Maire, p. 319
Image haute résolution sur Gallica du moins que des sections coniques ; ny ce qui peut empescher qu’on ne concoiue la seconde, et la troisiesme, et toutes les autres, qu’on peut descrire, aussy bien que la premiere ; ny par consequent qu’on ne les recoiue toutes en mesme façon, pour seruir aux speculations de Geometrie.
La façon de distinguer toutes les lignes courbes en certains genres. Et de connoistre le rapport qu’ont tous leurs poins à ceux des lignes droitesIe pourrois mettre icy plusieurs autres moyens pour tracer et conçeuoir des lignes courbes, qui seroient de plus en plus composées par degrés à l’infini. mais pour comprendre ensemble toutes celles, qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres ; ie ne sçache rien de meilleur que de dire que tous les poins, de celles qu’on peut nommer Geometriques, c’est à dire qui tombent sous quelque mesure precise et exacte, ont necessairement quelque rapport à tous les poins d’vne ligne droite, qui peut estre exprimé par quelque equation, en tous par vne mesme, Et que lorsque cete equation ne monte que iusques au rectangle de deux quantités indeterminées, ou bien au quarré d’vne mesme, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n’y a que le cercle, la parabole, l’hyperbole, et l’Ellipse qui soient comprises. mais que lorsque l’equation monte iusques à AT VI, 393
la trois ou quatriesme dimension des deux, ou de l’vne des deux quantités indeterminées, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’vn point à vn autre, elle est du second : et que lorsque l’equation monte iusques à la 5 ou sixiesme dimension, elle est du troisiesme ; et ainsi des autres à l’infini.
Comme si ie veux sçauoir de quel genre est la ligne EC, que i’imagine estre descrite par l’intersection de la Maire, p. 320
Image haute résolution sur Gallica 
reigle GL, et du plan rectiligne CNKL, dont le costé KN est indefiniement prolongé vers C, et qui estant meu sur le plan de dessous en ligne droite, c’est à dire en telle sorte que son diametre KL se trouue tousiours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d’autre, fait mouuoir circulairement cete reigle GL autour du point G, à cause quellequ’elle luy est tellement iointe quellequ’elle passe tousiours par le point L. Ie choisis vne ligne droite, comme AB, pour rapporter à ses diuers poins tous ceux de cete ligne courbe EC, et en cete ligne AB ie choisis vn point, comme A, pour commencer par luy ce calcul. Ie dis que ie choisis et l’vn et l’autre, à cause qu’il est libre de les prendre tels qu’on veult. encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’equation plus courte, et plus aysée ; toutefois en quelle façon qu’on les prene, on peut tousiours faire que la AT VI, 394
ligne paroisse de mesme genre, ainsi qu’il est aysé à demonstrer. Maire, p. 321
Image haute résolution sur Gallica Aprés cela prenant vn point à discretion dans la courbe, comme C, sur lequel ie suppose que l’instrument qui sert à la descrire est appliqué, ie tire de ce point C la ligne CB parallele à GA, et pource que CB et BA sont deux quantités indeterminées et inconnuës, ie les nomme l’vne $y$ et l’autre $x$. mais affin de trouuer le rapport de l’vne à l’autre ; ie considere aussy les quantités connuës qui determinent la description de cete ligne courbe, comme GA, que ie nomme $a$, KL que ie nomme $b$, et NL parallele à GA, que ie nomme $c$. puis ie dis, comme NL est à LK, ou $c$ à $b$, ainsi CB, ou $y$, est à BK, qui est par consequent 
$\frac{b}{c}\,y$ : et BL est 
$\frac{b}{c}\,y-b$, et AL est 
$x+\frac{b}{c}\,y-b$. de plus, comme CB est à LB, ou $y$ à $\frac{b}{c}\,y-b$, ainsi $a$ ou GA, est à LA, ou $x+\frac{b}{c}\,y-b$. de façon que multipliant Maire, p. 322
Image haute résolution sur Gallica la seconde par la troisiesme on produit 
$\frac{ab}{c}\,y-ab$, qui est esgale à 
$xy+\frac{b}{c}\,yy-by$ qui se produit en multipliant la premiere par la derniere. Et ainsi l’equation qu’il falloit trouuer est 
$yy\ad cy-\frac{cx}{b}\,y+ay-ac$.de laquelle on connoist que la ligne EC est du premier genre, comme en effect elle n’est autre qu’vne Hyperbole.
Que si en l’instrument qui sert à la descrire on fait qu’au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cete Hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL ; l’intersection de cete ligne et de la reigle GL descrira, au lieu de l’Hyperbole EC, AT VI, 395
vne autre ligne courbe, qui sera du second genre. Comme si CNK est vn cercle, dont L soit le centre, on descrira la premiere Conchoide des anciens ; et si c’est vne Parabole dont le diametre soit KB, on descrira la ligne courbe, que i’ay tantost dit estre la premiere, et la plus simple pour la question de 
Image haute résolution sur Gallica vne equation pour déterminer tous ses poins en cete sorte.
Au reste ie mets les lignes courbes qui font monter cete equation iusques au quarré de quarré, au mesme genre que celles qui ne la font monter que iusques au cube. Et celles dont l’equation monte au quarré de cube, au mesme genre que celles dont elle ne monte qu’au sursolide. Et ainsi des autres. Dont la raison est, qu’il y a une reigle generale pour reduire au cube AT VI, 396
toutes les difficultés qui vont au quarré de quarré, et au sursolide toutes celles qui vont au quarré de cube, de façon qu’on ne les doit point estimer plus composées.
Mais il est à remarquer qu’entre les lignes de chasque genre, encore que la plus part soient esgalement composées, en sorte qu’elles peuuent seruir à déterminer les mesmes poins, et construire les mesmes problesmes, il y en a toutefois aussy quelques vnes, qui sont plus simples, et qui n’ont pas tant d’estendue en leur puissance. Comme entre celles du premier genre outre l’Ellipse l’Hyperbole et la Parabole qui sont esgalement composées, le cercle y est aussy compris, qui manifestement est plus simple. Et entre celles du second genre il y a la Conchoide vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres, qui bien qu’elles n’ayent pas tant d’estendue que la plus part de celles du mesme genre, ne peuuent toutefois estre mises dans le premier.
Suite de l’explication de la question de 
Image haute résolution sur Gallica dessus, que lorsqu’il n’y a que trois ou 4 lignes droites données, l’equation qui sert à determiner les poins cherchés, ne monte que iusques au quarré ; il est euident, que la ligne courbe où se trouuent ces poins, est necessairement quelqu’vne de celles du premier genre : à cause que cete mesme equation explique le rapport, qu’ont tous les poins des lignes du premier genre à ceux d’vne ligne droite. Et que lorsqu’il n’y a AT VI, 397
point plus de 8 lignes droites données, cete equation ne monte que iusques au quarré de quarré tout au plus, et que par consequent la ligne cherchée ne peut estre que du second genre, ou au dessous. Et que lorsqu’il n’y a point plus de 12 lignes données, l’equation ne monte que iusques au quarré de cube, et que par consequent la ligne cherchée n’est que du troisiesme genre, ou au dessous. Et ainsi des autres. Et mesme à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par consequent faire chãger tant les quantités connuës, que les signes $+$ et $-$ de l’equation, en toutes les façons imaginables ; il est euident qu’il n’y a aucune ligne courbe du premier genre, qui ne soit vtile à cete question, quand elle est proposée en 4 lignes droites ; ny aucune du second qui n’y soit vtile, quand elle est proposée en huit ; ny du troisiesme, quand elle est proposée en douze : et ainsi des autres. En sorte qu’il n’y a pas vne ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse estre receüe en Geometrie, qui n’y soit vtile pour quelque nombre de lignes.
Solution de cete question quand elle n’est proposée qu’en 3 ou 4 lignes.Mais il faut icy plus particulierement que ie determine, et donne la façon de trouuer la ligne cherchée, qui sert en chasque cas, lorsqu’il n’y a que 3 ou 4 lignes droites Maire, p. 325
Image haute résolution sur Gallica données ; et on verra par mesme moyen que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres, que les trois sections coniques, et le cercle.
Reprenons les 4 lignes AB, AD, EF, et GH données cy dessus, et qu’il faille trouuer vne autre ligne, en laquelle il se rencontre vne infinité de poins tels que C, duquel ayant tiré les 4 lignes CB, CD, CF, AT VI, 398
et CH, à angles donnés, sur les données, CB multipliée par CF, produist une somme esgale à CD, multipliée par CH. c’est à dire ayant fait CB 
$\!\!\ad y$ , CD 
$\!\!\ad\frac{czy+bcx}{zz}$, CF 
$\!\!\ad\frac{ezy+dek+dex}{zz}$ et CH 
$\!\!\ad\frac{gzy+fg\ell-fgx}{zz}$, l’equatiõ est 
$yy\ad\frac{(-dekzz+cfg\ell z)y+(-dezzx-cfgzx+bcgzx)y+(bcfg\ell x-bcfgxx)}{ezzz-cgzz}$. Maire, p. 326
Image haute résolution sur Gallica au moins en supposant 
$ez$ plus grand que 
$cg$. car s’il estoit moindre, il faudroit changer tous les signes $+$ et $-$. Et si la quantité $y$ se trouuoit nulle, ou moindre que rien en cete equation, lorsqu’on a supposé le point C en l’angle DAG, il faudroit le supposer aussy en l’angle DAE, ou EAR, ou RAG, en AT VI, 399
changeant les lsignes $+$ et $-$ selon qu’il seroit requis à cet effect. Et si en toutes ces 4 positions la valeur d’$y$ se trouuoit nulle, la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons la icy estre possible, et pour en abreger les termes, au lieu des quantités 
$\frac{cfg\ell z-dekzz}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$2m$, et au lieu de 
$\frac{dezz+cfgz-bcgz}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$\frac{2n}{z}$ ; et ainsi nous aurons 
$yy\ad2my-\frac{2n}{z}\,xy+\frac{bcfg\ell x-bcfgxx}{ez^3-cgzz}$, dont la racine est 
$$y\ad m-\frac{nx}{z}+\sqrt{mm-\frac{2mnx}{z}+\frac{nnxx}{zz}+ \frac{bcfg\ell x-bcfgxx}{ez^3-cgzz}}$$. Et derechef pour abreger, au lieu de 
$-\frac{2mn}{z}+\frac{bcfg\ell}{ez^3-cgzz}$, escriuons 
$o$, et au lieu de 
$\frac{nn}{zz}-\frac{bcfg}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$\frac{p}{m}$. car ces quantités estant toutes données, nous les pouuons nommer comme il nous plaist. Et ainsi nous auons 
$$y\ad m-\frac{n}{z}\,x+\sqrt{mm+ox-\frac{p}{m}\,xx}$$, qui doit estre la longeur de la ligne BC, en laissant AB, ou $x$ indeterminée. Maire, p. 327
Image haute résolution sur Gallica Et il est euident que la question n’estant proposée qu’en trois ou quatre lignes, on peut tousiours auoir de tels termes. excepté que quelques vns d’eux peuuent estre nuls, et que les signes $+$ et $-$ peuuent diuersement estre changés.
AT VI, 400
Aprés cela ie fais KI esgale et parallele à BA, en sorte qu’elle couppe de BC la partie BK esgale à 
$m$, à cause qu’il y a icy 
$+m$ ; et ie l’aurois adioustée en tirant cete ligne IK de l’autre costé, s’il auoit eu 
$-m$ ; et ie ne l’aurois point du tout tirée, si la quantité $m$ eut esté nulle. Puis ie tire aussy IL, en sorte que la ligne IK est à KL, comme 
Z$z$ est à 
$n$. c’est à dire que IK estant $x$, KL est 
$\frac{n}{z}\,x$. Et par mesme moyen ie connois aussy la proportion Maire, p. 328
Image haute résolution sur Gallica qui est entre KL, et IL, que ie pose comme entre $n$ et $a$ : si bien que KL estant $\frac{n}{z}\,x$, IL est 
$\frac{a}{z}\,x$ ; Et ie fais que le point K soit entre L et C, à cause qu’il y a icy 
$-\frac{n}{z}\,x$ ; au lieu que i’aurois mis L entre K et C, si i’eusse eu 
$+\frac{n}{z}\,x$ ; et ie n’eusse point tiré cete ligne IL, si $\frac{n}{z}\,x$ eust esté nulle.
Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC, que ces termes, LC 
$\ad\sqrt{mm+ox-\frac{p}{m}\,xx}$. d’où ie voy que s’ils estoient nuls, ce point C se trouueroit AT VI, 401
en la ligne droite IL ; et que s’ils estoient tels que la racine s’en pust tirer, c’est à dire que 
$mm$ et 
$\frac{p}{m}\,xx$ estant marqués d’vn mesme signe $+$ ou $-$, 
$oo$ fust esgal à 
$4pm$, ou bien que les termes $mm$ et 
$ox$, ou $ox$ et $\frac{p}{m}\,xx$ fussent nuls, ce point C se trouueroit en vne autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaysée à trouuer qu’IL. Mais lorsque cela n’est pas, ce point C est tousiours en l’une des trois sections coniques, ou en vn cercle, dont l’vn des diametres est en la ligne IL, et la ligne LC est l’vne de celles qui s’appliquent par ordre à ce diametre ; ou au contraire LC est parallele au diametre, auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre. À sçavoir si le terme $\frac{p}{m}\,xx$, est nul cete section conique est vne Parabole ; et s’il est marqué du signe $+$, c’est vne Hyperbole ; et enfin s’il est marqué du signe $-$ c’est vne Ellipse. Excepté seulement si la quantité 
$aam$ est esgale à 
$pzz$ et que l’angle ILC soit droit : auquel cas on à vn cercle au lieu Maire, p. 329
Image haute résolution sur Gallica d’vne Ellipse. Que si cete section est vne Parabole, son costé droit est esgal à 
$\frac{oz}{a}$, et son diametre est tousiours en la ligne IL. Et pour trouuer le point N, qui en est le sommet, il faut faire IN esgale à 
$\frac{amm}{oz}$ ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont 
$+mm+ox$ ; ou bien que le point L soit entre I et N, s’ils sont 
$+mm-ox$ ; ou bien il faudroit qu’N fust entre I et L, s’il y auoit 
$-mm+ox$. Mais il ne peut iamais y auoir 
$-mm$, en AT VI, 402
la façon que les termes ont icy esté posés. Et enfin le point N seroit le mesme que le point I si la quantité $mm$ estoit nulle. Au moyen de quoy il est aysé de trouuer cete Parabole par le Ier. Problesme du Ier. liure d’
Maire, p. 330
Image haute résolution sur Gallica Que si la ligne demãdée est vn cercle, ou vne ellipse, ou vne Hyperbole, il faut premierement chercher le point M, qui en est le centre, et qui est tousiours en la ligne droite IL, où on le trouue en prenant 
$\frac{aom}{2pz}$ pour IM. en sorte que si la quantité $o$ est nulle, ce centre est iustement au point I. Et si la ligne cherchée est vn cercle, ou vne Ellipse ; on doit prendre le point M du mesme costé que le point L, au respect du point I, lorsqu’on a 
$+ox$ ; et lorsqu’on a 
$-ox$, on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l’Hyperbole, si on a $-ox$, ce centre M doit estre vers L ; et si on a $+ox$, il doit estre de l’autre costé. Aprés cela le AT VI, 403
costé droit de la figure doit estre 
$\sqrt{\frac{oozz}{aa}+\frac{4mpzz}{aa}}$ lorsqu’on a 
$+mm$, et que la ligne cherchée est vn cercle, ou vne Ellipse ; ou bien lorsqu’on à $-mm$, et que c’est vne Hyperbole. Et il doit estre $\sqrt{\frac{oozz}{aa}-\frac{4mpzz}{aa}}$ si la ligne cherchée estant vn cercle, ou vne Ellipse, on a $-mm$ ; ou bien si estant vne Hyperbole et la quantité $oo$ estant plus grande que $4mp$, on à $+mm$. Que si la quantité $mm$ est nulle, ce costé droit est $\frac{oz}{a}$, et si $ox$ est nulle, il est 
$\sqrt{\frac{4mpzz}{aa}}$. Puis pour le costé traversant, il faut trouuer vne ligne, qui soit à ce costé droit, cõme $aam$ est à $pzz$, à sçauoir si ce costé droit est $\sqrt{\frac{oozz}{aa}+\frac{4mpzz}{aa}}$ le trauersant est 
$\sqrt{\frac{aaoomm}{ppzz}+\frac{4aam^3}{pzz}}$. Et en tous ces cas le diametre de la section est en la ligne IM, et LC est l’vne de celles qui luy est appliquée par ordre. Si bien que faisant MN esgale à la moitié du costé Maire, p. 331
Image haute résolution sur Gallica trauersant et le prenant du mesme costé du point M, qu’est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diametre. en suite de quoy il est aysé de trouuer la section par le second et 3 prob. du Ier. Liu. d’
Mais quand cete section estant vne Hyperbole, on a $+mm$ ; et que la quantité $oo$ est nulle ou plus petite que $4pm$, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallele à LC, et CP parallele à LM. Et faire MO esgale à 
$\sqrt{mm-\frac{oom}{4p}}$ ; ou bien la faire esgale à $m$ si la quantité $ox$ est nulle. Puis considerer le point O, cõme le sommet de cete Hyperbole ; dont le diametre est OP, et CP la Maire, p. 332
Image haute résolution sur Gallica ligne qui luy est appliquée AT VI, 404
par ordre, et son costé droit est 
$\sqrt{\frac{4a^4m^4}{ppz^4}-\frac{a^4oom^3}{p^3z^4}}$ et son costé trauersãt est 
$\sqrt{4mm-\frac{oom}{p}}$. Excepté quand $ox$ est nulle car alors le costé droit est 
$\frac{2aamm}{pzz}$, et le trauersant est $2\,m$. Et ainsi il est aysé de la trouuer par le 3 prob. du Ier. liu. d’
Demonstration de tout ce qui vient d’estre expliqué.Et les demonstrations de tout cecy sont euidentes. car composant vn espace des quantités que iay assignées pour le coste droit, et le trauersant, et pour le segment du diametre NL, ou OP, suiuãt la teneur de l’11, du 12, et du 13 theoresmes du Ier. liure d’$\frac{aom}{2pz}$, de NM, qui est 
$\frac{am}{2pz}\,\sqrt{oo+4mp}$, iay IN, à laquelle aioustant IL, qui est $\frac{a}{z}\,x$, iay NL, qui est 
$\frac{a}{z}\,x-\frac{aom}{2pz}+\frac{am}{2pz}\,\sqrt{oo+4mp}$, et cecy estant multiplié par 
$\frac{z}{a}\,\sqrt{oo+4mp}$, qui est le costé droit de la figure, il vient 
$x\,\sqrt{oo+4mp}-\frac{om}{2p}\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{moo}{2p}+2mm$ : AT VI, 405
pour le rectangle., duquel il faut oster vn espace qui soit au quarré de NL comme le costé droit est au trauersant. Et ce quarré de NL est 
$\frac{aa}{zz}\,xx -\frac{aaom}{pzz}\,x+\frac{aam}{pzz}\,x\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{aaoomm}{2ppzz} +\frac{aam^3}{pzz}-\frac{aaomm}{2ppzz}\,\sqrt{oo+4mp}$ Maire, p. 333
Image haute résolution sur Gallica qu’il faut diuiser par $aam$ et multiplier par $pzz$, à cause que ces termes expliquent la proportion qui est entre le costé trauersant et le droit, et il vient 
$\frac{p}{m}\,xx-ox +x\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{oom}{2p}-\frac{om}{2p}\,\sqrt{oo+4mp}+mm$. ce qu’il faut oster du rectangle precedent, et on trouue 
$mm+ox-\frac{p}{m}\,xx$ pour le quarré de CL, qui par consequent est vne ligne appliquée par ordre dans vne Ellipse, ou dans vn cercle, au segment du diametre NL.
Et si on venut expliquer toutes les quantités données par nombres, en faisant par exemple EA
$\!\!\ad3$, AG 
$\!\!\ad5$ AB
$\!\!\ad\!\!$ BR, BS 
$\!\!\ad\frac{1}{2}$ BE, GB$\!\!\ad\!\!$ BT, CD 
$\!\!\ad\frac{3}{2}$ CR, CF 
$\!\!\ad2$ CS, CH 
$\!\!\ad\frac{2}{3}$ CT, et que l’angle ABR soit de 60 degrés ; et enfin que le rectangle des deux CB, et CF, soit esgal au rectangle des deux autres CD et CH ; car il faut auoir toutes ces choses affin que la question soit entierement determinée. Et auec cela supposant AB 
$\ad x$, et CB $\!\!\ad y$, on trouue par la façon cy dessus expliquée 
$yy\ad2y-xy+5x-xx$ et 
$y\ad1-\frac{1}{2}\,x+\sqrt{1+4x-\frac{3}{4}\,xx}$ : si bien que BK doit estre $1$, et KL doit estre la moitié de KI, et pource que l’angle IKL ou ABR est de AT VI, 406
60 degrés, et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pource que IK ou AB est nomme $x$, KL est 
$\frac{1}{2}\,x$, et IL est 
$x\,\sqrt{\frac{3}{4}}$, et la quantité qui estoit tantost nommée $z$ est $1$, celle qui estoit $a$ est 
$\sqrt{\frac{3}{4}}$, celle qui estoit $m$ est $1$, celle qui estoit $o$ est 
$4$, et celle qui estoit 
$p$ est 
$\frac{3}{4}$, de façon qu’on à 
$\sqrt{\frac{16}{3}}$ Maire, p. 334
Image haute résolution sur Gallica pour IM, et 
$\sqrt{\frac{19}{3}}$ pour NM, et pource que $aam$ qui est $\frac{3}{4}$ est icy esgal à $pzz$ et que l’angle ILC est droit, on trouue que la ligne courbe NC est vn cercle. Et on peut facilement examiner tous les autres cas en mesme sorte.
Quels sont les lieux plans, et solides : et la facon de les trouuer.Au reste à cause que les equations, qui ne montent que iusques au quarré, sont toutes comprises en ce que ie viens d’expliquer ; non seulement le problesme des anciens en 3 et 4 lignes est icy entierement acheué ; mais aussy tout ce qui appartient à ce qu’ils nommoient la composition des lieux solides ; et par consequent aussy à celle des lieux plans, à cause qu’ils sont compris dans les solides. Car ces lieux ne sont autre AT VI, 407
chose, sinon que lors qu’il est question de trouuer quelque point auquel il Maire, p. 335
Image haute résolution sur Gallica manque vne condition pour estre entierement determiné, ainsi qu’il arriue en cete exemple, tous les poins d’vne mesme ligne peuuent estre pris pour celuy qui est demandé. Et si cete ligne est droite, ou circulaire, on la nomme vn lieu plan. Mais si c’est vne parabole, ou vne hyperbole, ou vne ellipse, on la nomme vn lieu solide. Et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à vne Equation qui contient deux quantités inconnuës, et est pareille à quelqu’vne de celles que ie viens de resoudre. Que si la ligne qui determine ainsi le point cherché, est d’vn degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en mesme façon, vn lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s’il manque deux conditions à la determination de ce point, le lieu où il se trouue est vne superficie, laquelle peut estre tout de mesme ou plate, ou spherique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu’ayent eu les anciens en cete matiere a esté de paruenir à la composition des lieux solides : Et il semble que tout ce qu’
Quelle est la premiere et la plus simple de toutes les lignes courbes qui seruent en la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes.De plus on voit icy que ce que iay pris pour le premier genre des lignes courbes, n’en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l’hyperbole, et l’ellipse., qui est tout ce que i’auois entrepris de prouuer.
Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes, qui soient toutes paralleles ; il est euident que le point cherché sera tousiours en vne ligne droite. AT VI, 408
Mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient paralleles, et que la cinquiesme les couppe à angles droits, et mesme que toutes les lignes tirées du Maire, p. 336
Image haute résolution sur Gallica point cherché les rencontrent aussy à angles droits, et enfin que le parallelepipede composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont paralleles, soit esgal au parallelepipede composé des deux lignes tirées l’vne sur la quatriesme de celles qui sont paralleles et l’autre sur celle qui les couppe à angles droits, et d’vne troisiesme ligne donnée. ce qui est ce semble le plus simple cas qu’on puisse imaginer aprés le precedent ; le point cherché sera en la ligne courbe, qui est descrite par le mouuement d’vne parabole en la façon cy dessus expliquée. 
Maire, p. 337
Image haute résolution sur Gallica Soient par exemple les lignes cherchées AB, IH, ED, GF, et GA. Et qu’on demande le point C, en sorte que tirant CB, CF, CD, CH, et CM à angles droits sur les données, le parallelepipede des trois CF, CD, et CH soit esgal à celuy des 2 autres CB, et CM, et d’vne troisiesme qui soit AI. Ie pose CB$\!\ad y$. CM $\!\ad x$. AI, ou AE, ou GE$\!\ad a$, de façon que le point C estant entre les lignes AB, et DE, iay CF 
$\!\ad2a-y$, CD 
$\!\ad a-y$. et CH 
$\!\ad y+a$. Et multipliant ces trois l’vne par l’autre, iay 
$y^3-2ayy-aay+2a^3$ esgal au produit des trois autres qui est 
$axy$. Aprés cela ie considere la ligne courbe CEG, que i’imagine estre descrite par l’intersection, de la AT VI, 409
Parabole CKN, qu’on fait mouuoir en telle sorte que son diametre KL est tousiours sur la ligne droite AB, et de la reigle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte quellequ’elle passe tousiours dans le plan de cete Parabole par le point L. Et ie fais KL $\!\ad a$, et le costé droit principal, c’est à dire celuy qui se rapporte à l’aissieu de cete parabole, aussy esgal à $a$, et GA 
$\!\ad2a$, et CB ou MA$\!\ad y$, et CM ou AB $\ad x$. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 
$2a-y$, est à MC qui est $x$, comme CB qui est $y$, est à BL qui est par consequent 
$\frac{xy}{2a-y} $. Et pource que LK est $a$, BK est 
$a-\frac{xy}{2a-y}$, ou bien 
$\frac{2aa-ay-xy}{2a-y}$. Et enfin pource que ce mesme BK estant vn segment du diametre de la Parabole, est à BC qui luy est appliquée par ordre, comme cellecy est au costé droit qui est $a$, le calcul monstre que $y^3-2ayy-aay+2a^3$, est esgal à $axy$ et par consequent Maire, p. 338
Image haute résolution sur Gallica que le point C est celuy qui estoit demandé. Et il peut estre pris en tel endroirt de la ligne CEG qu’on veuille choisir, ou aussy en son AT VI, 410
adiointe $c$EG$c$, qui se descri tit en mesme façon, excepté que le sommet de la Parabole est tourné vers l’autre costé, ou enfin en leurs contreposées NI$o$, $n$IO, qui sont descrites par l’intersection que fait la ligne GL en l’autre costé de la Parabole KN.
Or encore que les paralleles données AB, IH, ED, et GF ne fussent point esgalement distantes, et que GA ne les couppast point à angles droits, ni aussy les lignes Maire, p. 339
Image haute résolution sur Gallica tirées du point C vers elles, ce point C ne laisseroit pas de se trouuer tousiours en vne ligne courbe, qui seroit de cete mesme nature. Et il s’y peut aussy trouuer quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne soient paralleles. Mais si lorsqu’il y en a 4 ainsi paralleles, et vne cinquiesme qui les trauerse : et que le parallelepipede de trois des lignes tirées du point cherché, l’vne sur cete cinquiesme, et les 2 autres sur 2 de celles qui sont paralleles ; soit esgal à celuy, des deux tirées sur les deux autres paralleles, et d’vne autre ligne donnée. Ce point cherché est en vne ligne courbe d’vne autre nature, à sçauoir en vne qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par AT VI, 411
ordre à son diametre estant esgales à celles d’vne section conique, les segmens de ce diametre, qui sont entre le sommet et ces lignes, ont mesme proportion à vne certaine ligne donnée, que cete ligne donnée a aux segmens du diametre de la section conique, ausquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et ie ne sçaurois veritablement dire que cete ligne soit moins simple que la precedente, laquelle iay creu toutefois deuoir prendre pour la premiere, à cause que la description, et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui seruent aux autres cas, ie ne m’aresteray point à les distinguer par especes. car ie n’ay pas entrepris de dire tout ; et ayant expliqué la façon de trouuer vne infinité de poins par où elles passent, ie pense auoir assés donné le moyen de les descrire.
Quelles sont les lignes courbes qu’on descrit en trouuant plusieurs de leurs poins, qui peuuent estre receues en Geometrie.Mesme il est à propos de remarquer, qu’il y a grande difference entre cete façon de trouuer plusieurs poins Maire, p. 340
Image haute résolution sur Gallica pour tracer vne ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables. car par cete derniere on ne trouue pas indifferẽment tous les poins de la ligne qu’on cherche, mais seulement ceux qui peuuent estre déterminés par quelque mesure plus simple, que celle qui est requise pour la composer, et ainsi à proprement parler on ne trouue pas vn de ses poins. c’est à dire pas vn de ceux qui luy sont tellement propres, qu’ils ne puissent estre trouués que par elle : Au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui seruent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se determinent par la AT VI, 412
façon tantost expliquée. Et pource que cete façon de tracer une ligne courbe, en trouuant indifferẽment plusieurs de ses poins, ne s’estend qu’a celles qui peuuent aussy estre descrites par vn mouuement regulier et continu, on ne la doit pas entierement reietter de la Geometrie.
Quelles sont aussy celles qu’on descrit auec vne chorde, qui peuuent y estre receues.Et on n’en doit pas reietter non plus, celle où on se sert d’vn fil, ou d’vne chorde repliée, pour determiner l’egalité ou la difference de deux ou plusieurs lignes droites qui peuuent estre tirées de chasque point de la courbe qu’on cherche, à certains autres poins, ou sur certaines autres lignes à certains angles. ainsi que nous auons fait en la Dioptrique pour expliquer l’Ellipse et l’Hyperbole. car encore qu’on n’y puisse reçeuoir aucunes lignes qui semblent à des chordes, c’est à dire qui deuienent tantost droites et tantost courbes, à cause que la proportion, qui est entre les droites et les courbes, n’estant pas connuë, et mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui Maire, p. 341
Image haute résolution sur Gallica fust exact et assuré. Toutefois à cause qu’on ne se sert de chordes en ces constructions, que pour déterminer des lignes droites, dont on connoist parfaitement la longeur, cela ne doit point faire qu’on les reiette.
Que pour trouuer toutes les proprietés des lignes courbes, il suffist de scauoir le rapport qu’ont tous leurs poins à ceux des lignes droites, et la facon de tirer d’autres lignes qui les couppent en tous ces poins à angles droits.Or de cela seul qu’on sçait le rapport, qu’ont tous les poins d’vne ligne courbe à tous ceux d’vne ligne droite, en la façon que iay expliquée ; il est aysé de trouuer aussy le rapport qu’ils ont à tous les autres poins, et lignes données : et en suite de connoistre les diametres, les aissieux, les centres, et autres lignes, AT VI, 413
ou poins, à qui chasque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier, ou plus simple, qu’aux autres : et ainsi d’imaginer diuers moyens pour les descrire, et d’en choisir les plus faciles. Et mesme on peut aussy par cela seul trouuer quasi tout ce qui peut estre determiné touchant la grandeur de l’espace quellesqu’elles comprenent, sans qu’il soit besoin que i’en donne plus d’ouuerture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres proprietés qu’on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dependent que de la grandeur des angles qu’elles font auec quelques autres lignes. Mais lorsqu’on peut tirer des lignes droites qui les couppent à angles droits, aux poins où elles sont rencontrées par celles auec qui elles font les angles qu’on veut mesurer, ou, ce que ie prens icy pour le mesme, qui couppent leurs contingentes ; la grandeur de ces angles n’est pas plus malaysée à trouuer, que s’ils estoient compris entre deux lignes droites. C’est pourquoy ie croyray auoir mis icy tout ce qui est requis pour les elemens des lignes courbes, lorsque i’auray generalement donné la façon de tirer des lignes droites, qui tombent à angles droits sur Maire, p. 342
Image haute résolution sur Gallica tels de leurs poins qu’on voudra choisir. Et i’ose dire que c’est cecy le problesme le plus vtile, et le plus general non seulement que ie sçache, mais mesme que i’aye iamais desiré de sçauoir en Geometrie.
Facon generale pour trouuer des lignes droites, qui couppent les courbes données, ou leurs contingentes, à angles droits. 
Soit CE la ligne courbe, et qu’il faille tirer vne ligne droite par le point C, qui face auec elle des angles droits. Ie suppose la chose desia faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle ie prolonge iusques AT VI, 414
au point P, où elle rencontre la ligne droite GA, que ie suppose estre celle aux poins de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE : en sorte que faisant MA ou CB $\!\!\ad y$ et CM, ou BA $\!\!\ad x$, iay quelque equation, qui explique le rapport, qui est entre $x$ et $y$. Puis ie fais PC 
$\!\!\ad s$, et PA 
$\!\!\ad v$, ou PM 
$\!\!\ad v-y$, et à cause du triangle rectangle PMC iay 
$ss$, qui est le quarré de la baze esgal à 
$xx+vv-2vy+yy$, qui sont les quarrés des deux costés. c’est à dire iay 
$x\ad\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$, ou bien 
$y\ad v+\sqrt{ss-xx}$, et par le moyen de cete equation, i’oste de l’autre equation qui m’explique le rapport qu’ont tous les poins de la courbe CE à ceux de la droite GA, l’vne des deux quantités indeterminées $x$ ou $y$. ce qui est aysé à faire en mettant partout 
$\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$ au lieu d’$x$, et le quarré de cete somme au lieu d’
$xx$, et son cube au lieu d’
$x^3$, et ainsi des autres, si c’est $x$ que ie veuille oster ; oubien Maire, p. 343
Image haute résolution sur Gallica si c’est $y$, en mettant en son lieu 
$v+\sqrt{ss-xx}$, et le quarré, ou le cube, etc. de cete somme, au lieu d’
$yy$ ou 
$y^3$, etc. De façon qu’il reste tousiours aprés cela vne equation, en laquelle il n’y a plus qu’vne seule quantité indeterminée, $x$, ou $y$.
Exemple de cete operation en vne Ellipse : Et en vne parabole du second genreComme si CE est vne Ellipse, et que MA soit le segment de son diametre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait 
$r$ pour son costé droit, et 
$q$ pour le AT VI, 415
trauersant, on à par le 13 th. du I liu. d’
$xx=ry-\frac{r}{q}\,yy$
, d’ou ostant $xx$, il reste 
$ss-vv+2vy-yy\ad ry-\frac{r}{q}\,yy$ ou bien, 
$yy+\frac{qry-2qvy+qvv-qss}{q-r}$ esgal à rien. car il est mieux en cet endroit de considerer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire vne partie esgale à l’autre.
Tout de mesme si CE est la ligne courbe descrite par le mouuement d’vne Parabole en la façon cy dessus expliquée, et qu’on ait posé $b$ pour GA, $c$ pour KL et $d$ pour le costé droit du diametre KL en la parabole : l’equatiõ qui explique le rapport Maire, p. 344
Image haute résolution sur Gallica qui est entre $x$ et $y$, est 
$y^3-byy-cdy+bcd+dxy\ad0$ d’où ostant $x$, on a 
$y^3-byy-cdy+bcd+dy\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$. Et remetrtant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient 
$y^6-2by^5$ $$+(-2cd+bb+dd)y^4+(4bcd-2ddv)y^3$$ $$+(-2bbcd+ccdd-ddss+ddvv)yy-2bccddy$$ $$+bbccdd\ad0$$. Et ainsi des autres.
AT VI, 416
Mesme encore que les poins de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que iay ditte à ceux d’vne ligne droite, mais en toute autre qu’on sçauroit imaginer, on ne laisse pas de pouuoir tousiours auoir vne telle equation. Comme si CE est vne ligne, qui ait tel rapport aux trois poins F, G, et A, que les lignes droites tirées de chascun de ses poins comme C, iusques au point F, surpassent la ligne FA d’vne quantité, qui ait certaine proportiõ donnée à vne autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mesmes poins iusques à G. Faisons GA $\!\ad b$, AF 
$\!\ad c$, et prenant à discretion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme $d$ à $e$, en sorte que si cete quantité qui est indeterminée se nomme $z$, FC est 
$c+z$, et GC est 
$b-\frac{e}{d}z$. Puis posant MA$\ad y$, GM est 
$b-y$, et FM est 
$c+y$, et à cause du triangle rectangle CMG, ostant le quarré Maire, p. 345
Image haute résolution sur Gallica de GM du quarré de GC, on a le quarré de CM, qui est 
$\frac{ee}{dd}\,zz-\frac{2be}{d}\,z+2by-yy$. puis ostant le quarré de FM du quarré de FC, on a encore le quarré de CM en d’autres termes, à sçauoir 
$zz+2cz-2cy-yy$, et ces termes estant esgaux aux precedens, ils font connoistre $y$, ou MA, qui est 
$\frac{ddzz+2cddz-cczz+2bdez}{2bbd+2ccd}$ et substituant cete somme au lieu d’$y$ dans le quarré AT VI, 417
de CM, on trouue qu’il s’exprime en ces termes 
$$\frac{bddzz+ceezz+2bcddz-2bcdez}{bdd+cdd}-yy$$.
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC $\!\ad s$, et PA $\!\ad v$ comme deuant, PM est 
$v-y$ ; et à cause du triangle rectangle PCM, on à 
$ss-vv+2vy-yy$ pour le quarré de CM, ou derechef ayant au lieu d’$y$ substitué la somme qui luy est esgale, il vient 
$zz+\frac{2bcddz-2bcdez-2cddvz-2bdevz-bddss+bddvv-cddss+cddvv} {bdd+cee+eev-ddv}$ $\ad0$ pour l’equation que nous cherchions.
Or aprés qu’on à trouué vne telle equation, au lieu de s’en seruir pour connoistre les quantités $x$, ou $y$, ou $z$, qui sont desia données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouuer 
$v$ ou 
$s$, qui determinent le point P, qui est demandé. Et à cet effect il faut considerer, que si ce point P est tel qu’on le desire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE, sans la coupper ; mais que si ce point P, est tant soit peu plus proche, ou plus esloigné du point Maire, p. 346
Image haute résolution sur Gallica A, qu’il ne doit, ce cercle couppera la courbe, non seulement au point C, mais aussy necessairement en quelque autre. Puis il faut aussy considerer, que lorsque ce cercle couppe la ligne courbe CE, l’equation par laquelle on cherche la quantité $x$, ou $y$, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC estre connuës, contient necessairement deux racines, qui sont inesgales. Car par exemple si ce cercle AT VI, 418
couppe la courbe aux poins C et E, ayant tiré EQ parallele à CM, les noms des quantités indeterminées $x$ et $y$, conuiendront aussy bien aux lignes EQ, et QA, qu’a CM, et MA ; puis PE est esgale à PC, à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes 
EQ et QA, par PE et PA qu’on suppose comme données, on aura la mesme equation, que si on cherchoit CM et MA par PC, PA. d’où il suit euidemment, que la valeur d’$x$, ou d’$y$, ou de telle autre quantité qu’on aura supposee, sera double en cete equation, c’est à dire qu’il y aura deux racines inesgales entre elles ; et dont l’vne sera CM, l’autre EQ, si c’est $x$ qu’on cherche ; ou bien l’vne sera MA, et l’autre QA, si c’est $y$. Et ainsi des autres. Il est vray que si le point E ne se trouue pas du mesme costé de la courbe que le point C ; il n’y aura que l’vne de ces deux racines qui soit vraye, et l’autre sera renuersée, ou moindre que rien : mais plus ces deux poins, C, et E, sont proches l’vn de l’autre, moins il y a de difference entre ces deux racines ; Maire, p. 347
Image haute résolution sur Gallica et enfin elles sont entierement esgales, s’ils sont tous deux ioins en vn ; c’est à dire si le cercle, qui passe par C, y touche la courbe CE sans la coupper.
De plus il faut considerer, que lorsqu’il y a deux racines esgales en vne equation, elle a necessairement la mesme forme, que si on multiplie par soy mesme la quantité qu’on y suppose estre inconnuë moins la quantité connue qui luy est esgale, et qu’aprés cela si cete derniere somme n’a pas tant de dimensions que AT VI, 419
la precedente, on la multiplie par vne autre somme qui en ait autant qu’il luy en manque ; affin qu’il puisse y auoir separement equation entre chascun des termes de l’vne, et chascun des termes de l’autre.
Comme par exemple ie dis que la premiere equation trouuée cy dessus, à sçauoir $yy+\frac{qry-2qvy+qvv-qss}{q-r}$ doit auoir la mesme forme que celle qui se produist en faisant $e$ esgal à $y$, et multipliant 
$y-e$ par soy mesme, d’où il vient 
$yy-2ey+ee$, en sorte qu’on peut comparer separement chascun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est $yy$ est tout le mesme en l’vne qu’en l’autre, le second qui est en l’vne 
$\frac{qry-2qvy}{q-r}$ est esgal au secõd de l’autre qui est 
$-2ey$, d’où cherchant la quantité $v$ qui est la ligne PA, on à 
$v\ad e-\frac{r}{q}\,e+\frac{1}{2}\,r$, oubiẽ à cause que nous auons supposé $e$ esgal à $y$, on a 
$v\ad y-\frac{r}{q}\,y+\frac{1}{2}\,r$. Et Maire, p. 348
Image haute résolution sur Gallica ainsi on pourroit trouuer $s$ par le troisiesme terme
$ee\ad \frac{qvv-qss}{q-r}$ mais pource que la quantité $v$ determine assés le point P, qui est le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.
AT VI, 420
Tout de mesme la seconde equation trouuée cy dessus, à sçauoir, 
$$y^6-2by^5+(-2cd+bb+dd)y^4+(4bcd-2ddv)y^3$$ $$+(-2bbcd+ccdd-ddss+ddvv)yy-2bccddy+bbccdd$$ doit auoir mesme forme, que la somme qui se produist lorsqu’on multiplie $yy-2ey+ee$ par 
$y^4+fy^3+ggyy+h^3y+k^4$, qui est 
$$y^6+(f-2e)y^5+(gg-2ef+ee)y^4+(h^3-2egg+eef)y^3$$ $$+(k^4-2eh^3+eegg)yy+(-2ek^4+eeh^3)y+eek^4:$$ de façon que de ces deux equations i’en tire six autres, qui seruent à connoistre les six quantités $f$, $g$, 
$h$, 
$k$, $v$ et $s$. D’où il est fort aysé à entendre, que de quelque genre, que puisse estre la ligne courbe proposée, il vient tousiours par cete façon de proceder autant d’equations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnuës. Mais pour demesler par ordre ces equations, et trouuer enfin la quantité $v$, qui est la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres : Il faut premierement par le second terme chercher $f$, la premiere des quantités inconnuës de la derniere somme, et on trouue 
$f\ad2e-2b$.
Puis par le dernier il faut chercher $k$ la derniere des quantités inconnuës de la mesme somme, et on trouue 
$k^4=\frac{bbccdd}{ee}$. Maire, p. 349
Image haute résolution sur Gallica AT VI, 421
Puis par le troisiesme terme il faut chercher $g$ la seconde quantité, et on a 
$gg\ad3ee-4be-2cd+bb+dd$. Puis par le penultiesme il faut chercher $h$ la penultiesme quantité, qui est 
$h^3\ad\frac{2bbccdd}{e^3}-\frac{2bccdd}{ee}$. Et ainsi il faudroit continuer suiuant ce mesme ordre iusques à la derniere, s’il y en auoit d’auantage en cete somme ; car c’est chose qu’on peut tousiours faire en mesme façon.
Puis par le terme qui suit en ce mesme ordre, qui est icy le quatriesme, il faut chercher la quantité $v$, et on a 
$$v=\frac{2e^3}{dd}-\frac{3bee}{dd}+\frac{bbe}{dd}-\frac{2ce}{d}+e +\frac{2bc}{d}+\frac{bcc}{ee}-\frac{bbcc}{e^3}$$ ou mettant $y$ au lieu de $e$ qui luy est esgal on a 
$$v=\frac{2y^3}{dd}-\frac{3byy}{dd}+\frac{bby}{dd}-\frac{2cy}{d}+y +\frac{2bc}{d}+\frac{bcc}{yy}-\frac{bbcc}{y^3}$$ pour la ligne AP.
Et ainsi la troisiesme equation, qui est Maire, p. 350
Image haute résolution sur Gallica 
$$zz+\frac{2bcddz-2bcdez-2cddvz-2bdevz-bddss+bddvv-cddss+cddvv}{bdd+cee+eev-ddv}$$ AT VI, 422
a la mesme forme que 
$zz-2fz+ff$, en supposant $f$ esgal à $z$, si bien que il y a derechef equation entre 
$-2f$ ou 
$-2z$, et 
$\frac{2bcdd-2bcde-2cddv-2bdev}{bdd+cee+eev-ddv}$ d’où oun connoist que la quantité $v$ est 
$\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez}{cdd+bde-eez+ddz}$.
C’est pourquoy composant. la ligne AP, de cete somme esgale à $v$ dont toutes les quantités sont connuës, et tirant du point P ainsi trouué, vne ligne droite vers C, elle y couppe la courbe CE à angles droits. qui est ce qu’il falloit faire. Et ie ne voy rien qui empesche, qu’on n’estende ce problesme en mesme façon à toutes les lignes courbes, qui tombent sous quelque calcul Geometrique.
Mesme il est à remarquer touchant la derniere somme, qu’on prent à discretion, pour remplir le nombre des dimensions de l’autre somme, lorsqu’il y en manque, comme nous auons pris tantost $y^4+fy^3+ggyy+h^3y+k^4$ ; que les signes $+$ et $-$ y peuuent estre supposés tels, qu’on veut, sans que la ligne $v$, ou AP, se trouue diuerse pour cela, comme vous pourrés aysement voir par experience. car s’il falloit que ie m’arestasse à AT VI, 423
demonstrer tous les theoresmes dont ie Maire, p. 351
Image haute résolution sur Gallica fais quelque mention, ie serois contraint d’escrire vn volume beaucoup plus gros que ie ne desire. Mais ie veux bien en passant vous auertir que l’inuention de supposer deux equations de mesme forme, pour comparer separement tous les termes de l’vne à ceux de l’autre, et ainsi en faire naistre plusieurs d’vne seule, dont vous aués vû icy vn exemple, peut seruir à vne infinité d’autres Problesmes, et n’est pas l’vne des moindres de la methode dont ie me sers.
Ie n’adiouste point les constructions, par lesquelles on peut descrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, en suite du calcul que ie viens d’expliquer, à cause qu’il est tousiours aysé de les trouuer : Bien que souuent on ait besoin d’vn peu d’adresse, pour les rendre courtes et simples.
Exemple de la construction de ce problesme, en la conchoide.Comme par exemple, si DC est la premiere conchoide 
des anciens, dont A soit le pole, et BH la regle : en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD, et la droite BH, comme DB et CE, soient esgales : Et qu’on veuille trouuer la ligne CG qui la couppe au point C à angles droits. On pourroit en cherchant, dans la ligne BH, le point par où cete ligne CG doit passer, selon la methode icy Maire, p. 352
Image haute résolution sur Gallica expliquée, s’engager dans vn AT VI, 424
calcul autant ou plus long qu’aucun des precedens : Et toutefois la construction, qui deuroit aprés en estre deduite, est fort simple. Car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire esgale à CH qui est perpendiculaire sur HB : puis du point F tirer FG, parallele à BA, et esgale à EA : au moyen de quoy on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée.
Explication de 4 nouueaux genres d’Ouales, qui seruent à l’Optique.Au reste affin que vous sçachiéessçachiés que la consideration des lignes courbes icy proposée n’est pas sans vsage, et qu’elles ont diuerses proprietés, qui ne cedent en rien à celles des sections coniques, ie veux encore adiouster icy l’explication de certaines Ouales, que vous verrés estre tres vtiles pour la Theorie de la Catoptrique, et de la Dioptrique. Voycy la façon dont ie les descris.
Premierement ayant tiré les lignes droites FA, et AR, qui s’entrecouppent au point A, sans qu’il importe à quels angles, ie prens en l’vne le point F à discretion, c’est à dire plus ou moins esloigné du point A selon que Maire, p. 353
Image haute résolution sur Gallica ie veux faire ces Ouales plus ou moins AT VI, 425
grandes, et de ce point F comme centre ie descris vn cercle, qui passe quelque peu au delà du point A, comme par le point 5, puis de ce point 5 ie tire la ligne droite 56, qui couppe l’autre au point 6, en sorte qu’A6 soit moindre qu’A5, selon telle proportion donnée qu’on veut, à sçauoir selon celle qui mesure les Refractions si on s’en veut seruir pour la Dioptrique. Aprés cela ie prens aussy le point G, en la ligne FA, du costé où est le point 5, à discretion, c’est à dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis ie fais RA esgale à GA en la ligne A6. Et du centre G descriuant vn cercle, dont le rayon soit esgal à R6, il couppe l’autre cercle de part et d’autre au point 1, qui est l’vn de ceux par où doit passer la premiere des Ouales cherchées. Puis derechef du centre F ie descris vn cercle, qui passe vn peu au deça, ou au delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallele à 56, du centre G ie descris vn autre cercle, dont le rayon est esgal à la ligne R8. Et ce cercle couppe celuy qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l’vn de ceux de la mesme Ouale. Et ainsi on en peut trouuer autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d’autres lignes paralleles à 78, et d’autres cercles des centres F, et G.
Pour la seconde Ouale il n’y a point de difference, sinon qu’au lieu d’AR il faut de l’autre costé du point A prendre AS esgal à AG, et que le rayon du cercle descrit du centre G, pour coupper celuy qui est descrit du centre F et qui passe par le point 5, soit AT VI, 426
esgal à la Maire, p. 354
Image haute résolution sur Gallica 
ligne S6 ; ou qu’il soit esgal à S8, si c’est pour coupper celuy qui passe par le point 7. Et ainsi des autres. au moyen de quoy ces cercles s’entrecouppent aux poins marqués 2, 2, qui sont ceux de cete seconde Ouale A2X.
Pour la troisiesme, et la quatriesme, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l’autre costé du point A, à sçauoir du mesme qu’est le point F. Et il y a icy de plus à obseruer que cete ligne AH doit estre plus grande que AF : laquelle peut mesme estre nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A, en la description de toutes ces ouales. Aprés cela les lignes AR, et AS estant esgales à AH, pour descrire la troisiesme ouale A3Y, ie fais vn cercle du centre H, dont le rayon est Maire, p. 355
Image haute résolution sur Gallica 
esgal à S6, qui couppe au point 3 celuy du centre F, qui passe par le point 5 ; et vn autre dont le rayon est esgal à S8, qui couppe celuy qui AT VI, 427
passe par le point 7, au point aussy marqué 3 ; et ainsi des autres. Enfin pour la derniere 
Maire, p. 356
Image haute résolution sur Gallica ouale ie fais des cercles du centre H, dont les rayons sont esgaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui couppent les autres cercles aux poins marqués 4.
On pourroit encore trouuer vne infinité d’autres moyens pour descrire ces mesmes ouales. comme par exemple, on peut tracer la premiere AV, lorsqu’on suppose les lignes FA et AG estre esgales, si on diuise AT VI, 428
la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG, comme 
A5 à A6. c’est à dire qu’elles ayent la proportion, qui mesure les refractions. Puis ayant diuisé AL en deux parties esgales au point K, qu’on face tourner vne reigle, comme FE, autour du point F, en pressant du doigt C, la chorde EC, qui estant attachée au bout de cete reigle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, ou son autre bout soit attaché, en sorte que la longeur de cete chorde soit composée de celle des lignes GA plus AL plus FE moins AF. Et ce sera le mouuement du point C, qui descrira cete ouale, à l’imitation de ce qui a esté dit en la Dioptriq; de l’Ellipse, Maire, p. 357
Image haute résolution sur Gallica et de l’Hyperbole. mais ie ne veux point m’arester plus long tems sur ce suiet.
Or encore que toutes ces ouales semblent estre quasi de mesme nature, elles sont neanmoins de 4 diuers genres, chascun desquels contient sous soy vne infinité d’autres genres, qui derechef contienent chascun autant de diuerses especes, que fait le genre des Ellipses, ou celuy des Hyperboles. Car selon que la proportion, qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, AT VI, 429
est differente ; le genre subalterne de ces ouales est different. Puis selon que la proportion, qui est entre les lignes AF, et AG, ou AH, est changée, les ouales de chasque genre subalterne changent d’espece. Et selon qu’AG, ou AH est plus ou moins grande, elles sont diuerses en grandeur. Et si les lignes A5 et A6 sont esgales, au lieu des ouales du premier genre ou du troisiesme, on ne descrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les Hyperboles possibles ; et au lieu de celles du dernier toutes les Ellipses.
Les proprietés de ces ouales touchant les reflexions, et les refractions.Outre cela en chascune de ces ouales il faut considerer deux parties, qui ont diuerses proprietés ; à sçauoir en la premiere, la partie qui est vers A, fait que les rayons, qui estant dans l’air vienent du point F, se retourunent tous vers le point G, lorsqu’ils rencontrent la superficie conuexe d’vn verre, dont la superficie est 1A1, et dans lequel les refractions se font telles, que suiuant ce qui a esté dit en la Dioptrique, elles peuuent toutes estre mesurées par la proportion, qui est entre les lignes A5 et A6, ou semblables, par l’ayde desquelles on a descrit cete ouale.
Maire, p. 358
Image haute résolution sur Gallica AT VI, 430
Mais la partie, qui est vers V, fait que les rayons qui vienent du point G se refleschiroient tous vers F, s’ils y rencontroient la superficie concaue d’vn miroir, dont la figure fust 1V1, et qui fust de telle matiere qu’il diminuast la force de ces rayons, selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 : Car de ce qui a esté demonstré en la Dioptrique, il est euident que cela posé, les angles de la reflexion seroient inesgaus, aussy bien que sont ceux de la refraction, et pourroient estre mesurés en mesme sorte.
En la seconde ouale la partie 2A2 sert encore pour les reflexions dont on suppose les angles estre inesgaux. car estant en la superficie d’vn miroir composé de mesme matiere que le precedent, elle feroit tellement refleschir tous les rayons, qui viendroient du point G, qu’ils sembleroient aprés estre refleschis venir du point F. Et il est à remarquer, qu’ayant fait la ligne AG beaucoup Maire, p. 359
Image haute résolution sur Gallica plus grande que AF, ce miroir seroit conuexe au milieu, vers A, et concaue aux extremitez : car telle est la figure de cete ligne, qui en cela represente plutost vn cœur qu’vne ouale.
Mais son autre partie X2 sert pour les refractions, et fait que les rayons, qui estant dans l’air tendent vers F, se detournent vers G en trauersant la superficie d’vn verre, qui en ait la figure.
La troisiesme ouale sert toute aux refractions, et fait que les rayons, qui estant dans l’air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, aprés qu’ils ont trauersé sa superficie, dont la figure est A3Y3, qui est AT VI, 431
conuexe par tout, excepté vers A où elle est vn peu concaue, en sorte qu’elle a la figure d’vn cœur aussy bien que la precedente. Et la difference qui est entre les deux parties de cete ouale, consiste en ce que le point F est plus proche de l’vne, que n’est le point H ; et qu’il est plus esloigné de l’autre, que ce mesme point H.
En mesme façon la derniere ouale sert toute aux reflexions, et fait que si les rayons, qui vienent du point H, rencontroient la superficie concaue d’vn miroir de mesme matiere que les precedens, et dont la figure fust A4Z4, ils se refleschiroient tous vers F.
De façon qu’on peut nommer les poins F, et G, ou H les poins bruslans de ces ouales, à l’exemple de ceux des Ellipses, et des Hyperboles, qui ont esté ainsi nommés en la Dioptrique.
Demonstration des proprietés de ces ouales touchant les reflexions et refractions.I’omets quantité d’autres refractions, et reflexions, qui sont reiglées par ces mesmes ouales : car n’estant que les conuerses, ou les contraires de celles cy, elles en Maire, p. 360
Image haute résolution sur Gallica peuuent facilement estre desduites. Mais il ne faut pas que i’omette la demonstration de ce que iay dit. Et à cet effect, prenons par exemple le point C à discretion en la premiere partie de la premiere de ces ouales ; puis tirons la ligne droite CP, qui couppe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problesme precedent ; Car prenant $b$ pour AG, AT VI, 432
$c$ pour AF, $c+z$ pour FC ; et supposant que la proportion qui est entre $d$ et $e$, que ie prendray icy tousiours pour celle qui mesure les refractions du verre proposé, designe aussy celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont serui pour descrire cete ouale, ce qui donne $b-\frac{e}{d}\,z$ pour GC : on trouue que la ligne AP est 
$\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$ ainsi qu’il a esté monstré cy dessus. De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussy à angles droits sur GC, considerons que si PQ est à PN, comme $d$ est à $e$, c’est à dire, comme les lignes qui mesurent les refractions du verre conuexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu’il s’aille rendre aprés vers G : ainsi qu’il est tres euident de ce qui a esté dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul, s’il est vray, que PQ soit à PN ; comme $d$ est à $e$. Les triangles rectangles PQF, et CMF sont semblables ; Maire, p. 361
Image haute résolution sur Gallica d’où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par consequent que FP, estant multipliée par CM, et diuisée par CF, est esgale à PQ. Tout de mesme les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables ; d’où il suit que GP, multipliée par CM, et diuisée par CG, est esgale à PN. Puis à cause que les multiplications, ou diuisions, qui se font de deux quantités par vne mesme, ne changent point la AT VI, 433
proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et diuisée par CF, est à GP multipliée aussy par CM et diuisée par CG ; comme $d$ est à $e$, en diuisant l’vne et l’autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit estre à GP multipliée par CF, comme $d$ est à $e$. Or par la construction FP est 
$c+\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez} {bde+cdd+ddz-eez}$. ou bien FP 
$\!\!\ad\frac{bcdd+ccdd+bddz+cddz}{bde+cdd+ddz-eez}$. Et CG est $b-\frac{e}{d}\,z$ si bien que multipliant FP par CG il vient 
$$\frac{bbcdd+bccdd+bbddz+bcddz-bcdez-ccdez-bdezz-cdezz} {bde+cdd+ddz-eez}$$ ;
Puis GP est 
$b+\frac{-bcdd+bcde-bddz-ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$, ou bien 
$\!\!\ad\frac{bbde+bcde-beez-ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$, et CF est $c+z$ ; si bien que multipliant GP par CF, il vient 
$$\frac{bbcde+bccde-bceez-cceez+bbdez+bcdez-beezz-ceezz}{bde+cdd+ddz-eez}$$ . Et pource que la premiere de ces sommes diuisée par $d$, est la mesme que la seconde diuisée par $e$, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; Maire, p. 362
Image haute résolution sur Gallica c’est à dire que PQ est à PN, comme $d$ est à $e$, qui est tout ce qu’il falloit demonstrer.
Et sçachés, que cete mesme demonstration s’estend à tout ce qui a esté dit des autres refractions ou reflexions, qui se font dans les ouales proposées ; sans AT VI, 434
qu’il y faille changer aucune chose, que les signes $+$ et $-$ du calcul. c’est pourquoy chascun les peut aysement examiner de soymesme, sans qu’il soit besoin que ie m’y areste.
Mais il faut maintenent, que ie satisface à ce que iay omis en la Dioptrique, lorsqu’aprés auoir remarqué, qu’il peut y auoir des verres de plusieurs diuerses figures, qui facent aussy bien l’vn que l’autre, que les rayons venans d’vn mesme point de l’obiet s’assemblent tous en vn autre point aprés les auoir trauersés. Et qu’entre ces verres, ceux qui sont fort conuexes d’un costé, et concaues de l’autre, ont plus de force pour brusler, que ceux qui sont esgalement conuexes des deux costés. au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. ie me suis contente d’expliquer ceux, que i’ay crû estre les meilleurs pour la prattique, en supposant la difficulté que les artisans peuuent auoir à les tailler. C’est pourquoy, affin qu’il ne reste rien à souhaiter touchant la theorie de cete science, ie doy expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant l’vne de leurs superficies autant conuexe, ou concaue, qu’on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons, qui vienent vers eux d’vn mesme point, ou paralleles, s’assemblent aprés en vn mesme point ; et celle des verres qui font le semblable, estant esgalement conuexes des deux costés, ou bien la Maire, p. 363
Image haute résolution sur Gallica conuexité de l’vne de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.
Commẽt on peut faire vn verre autant conuexe ou concaue, en l’vne de ses superficies, qu’on voudra, qui rassemble à vn point donné, tous les rayons qui vienent d’vn autre point donné.
Posons pour le premier cas, que les poins G, Y, C, et F estant donnés, les rayons qui vienent du point G, ou bien qui sont paralleles à GA se doiuent assembler AT VI, 435
au point F, aprés auoir trauersé vn verre si concaue, qu’Y estant le milieu de sa superficie interieure, l’extremité en soit au point C, en sorte que la chorde CMC, et la fleche YM de l’arc CYC, sont données. La question va là, que premierement il faut considerer, de laquelle des ouales expliquées, la superficie du verre YC, doit auoir la figure, pour faire que tous les rayons, qui estant dedans tendent vers vn mesme point, comme vers H, qui n’est pas encore connu, s’aillent rendre vers vn autre, à sçauoir vers F, aprés en estre sortis. Car il n’y a aucun effect touchant le rapport des rayons changé par reflexion, ou refraction d’vn point à vn autre, qui ne puisse estre causé par quelqu’vne de ces ouales. Et on voit aysement que cetuy cy le peut estre par la partie de la troisiesme Ouale, qui a tantost esté marquée 3A3, ou par celle de la mesme, qui a esté marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a esté marquée 2X2. Et pource que ces trois tombent icy sous mesme calcul, on doit tant pour l’vne, que pour l’autre prendre Y pour Maire, p. 364
Image haute résolution sur Gallica leur sommet, C pour l’vn des poins de leur circonference, et F pour l’vn de leurs poins bruslans ; aprés quoy il ne reste plus à chercher que le point H, qui doit estre l’autre point bruslant. Et on le trouue en considerant, que la difference, qui est entre les lignes FY et FC, doit estre à celle, qui est entre les lignes HY AT VI, 436
et HC, comme $d$ est à $e$, c’est à dire, comme la plus grande des lignes qui mesurent les refractions du verre proposé est à la moindre ; ainsi qu’on peut voir manifestement de la description de ces ouales. Et pource que les lignes FY et FC sont données, leur difference l’est aussy, et en suite celle qui est entre HY et HC ; pource que la proportion qui est entre ces deux differences est donnée. Et de plus à cause que YM est donnée, la difference qui est entre MH, et HC, l’est aussy ; et enfin pource que CM est donnée, il ne reste plus qu’à trouuer MH le costé du triangle 
rectangle CMH, dont on a l’autre costé CM, et on a aussy la difference qui est entre CH la baze, et MH le costé demandé. d’où il est aysé de le trouuer. car si on prent $k$ pour l’excés de CH sur MH, et $n$ pour la longeur de la ligne CM, on aura 
$\frac{nn}{2k}-\frac{1}{2}\,k$ pour MH. Et aprés auoir ainsi le point H, s’il se trounue plus loin du point Y, Maire, p. 365
Image haute résolution sur Gallica que n’en est le point F, la ligne CY doit estre la premiere partie de l’ouale du troisiesme genre, qui a tantost esté nommée 3A3 : Mais si HY est moindre que FY, ou bien elle surpasse HF de tant, que leur difference est plus grande à raison de la toute FY, que n’est $e$ la moindre des lignes qui mesurent les refractions comparée auec $d$ la plus grande, c’est à dire que faisant HF $\!\!\ad c$, et HY 
$\!\!\ad c+h$, 
$dh$ est plus grande que 
$2ce+eh$, et lors CY doit estre la AT VI, 437
seconde partie de la mesme ouale du troisiesme genre, qui a tantost esté nomée 3Y3 ; Ou bien $dh$ est esgale, ou moindre que $2ce+eh$ : et lors CY doit estre la seconde partie de l’ouale du second genre qui a cy dessus esté nommée 2X2. Et enfin si le point H est le mesme que le point F, ce qui n’arriue que lorsque FY et FC sont esgales cete ligne YC est vn cercle.
Aprés cela il faut chercher CAC l’autre superficie de ce verre, qui doit estre vne Ellipse, dont H soit le point bruslant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soiẽt paralleles ; et lors il est aysé de la trouuer. Mais si on suppose qu’ils vienẽt du point G, ce doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre, dont les deux poins bruslans soiẽt G et H, et qui passe par le point C : d’où on trouue le point A pour le sommet de cete ouale, en considérãt, que GC doit estre plus grãde que GA, d’vne quantité, qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme $d$ à $e$. car ayant pris $k$ pour la difference qui est entre CH, et HM, si on suppose $x$ pour AM, on aura 
$x-k$, pour la difference qui est entre AH, et CH ; puis si on prent$g$ pour celle, qui est entre GC, et GM, qui sont données, on aura 
$g+x$ pour celle, qui est entre GC, et GA ; et Maire, p. 366
Image haute résolution sur Gallica pource que cete derniere $g+x$ est à l’autre $x-k$, comme $d$ est à $e$, on a 
$ge+ex\ad dx-dk$, ou bien 
$\frac{ge+dk}{d-e}$ pour la ligne $x$, ou AM, par laquelle on determine le point A qui estoit cherché.
Commẽt on peut faire vn verre, qui ait le mesme effect que le precedẽt, et que la conuexité de l’vne de ses superficies ait la proportion donnée auec celle de l’autre.Posons maintenent pour l’autre cas, qu’on ne donne que les poins GC, et F, auec la proportion qui est AT VI, 438
entre les lignes AM, et YM, et qu’il faille trouuer la figure du verre ACY, qui face que tous les rayons, qui vienent du point G s’assemblent au point F.
On peut derechef icy se seruir de deux ouales dont l’vne, AC, ait G et H pour ses poins bruslans ; et l’autre, CY, ait F et H pour les siens. Et pour les trouuer, premierement supposant le point H qui est commun à toutes deux estre connu, ie cherche AM par les trois poins G, C, H, en la façon tout maintenent expliquée ; à sçauoir preunant $k$ pour la difference, qui est entre CH, et HM ; et $g$ pour celle qui est entre GC, et GM : et AC estant la premiere partie de l’Ouale du premier genre, iay $\frac{ge+dk}{d-e}$ pour AM : puis ie cherche aussy MY par les trois poins F, C, H, en sorte que CY soit la premiere partie d’vne ouale du troisiesme genre ; et prenant $y$ pour MY, Maire, p. 367
Image haute résolution sur Gallica et $f$ pour la difference, qui est entre CF, et FM, i’ay 
$f+y$, pour celle qui est entre CF, et FY : puis ayant desia $k$ pour celle qui est entre CH, et HM, iay 
$k+y$ pour celle qui est entre CH, et HY, que ie scay deuoir estre à $f+y$ comme $e$ est à $d$, à cause de l’Ouale du troisiesme genre, d’où ie trouue que $y$ ou MY est 
$\frac{fe-dk}{d-e}$, puis ioignant ensemble les deux quantités trouuées pour AM, et MY, ie trouue 
$\frac{ge+fe}{d-e}$ pour la toute AY ; D’où il suit que de quelque costé que soit supposé le point H, cete ligne AY est tousiours AT VI, 439
composée d’vne quantité, qui est à celle dont les deux ensemble GC, et CF surpassent la toute GF, comme $e$, la moindre des deux lignes qui seruent à mesurer les refractions du verre proposé, est à 
$d-e$, la difference qui est entre ces deux lignes. ce qui est vn assés beau theoresme. Or ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doiuent auoir ses parties AM et MY ; au moyen de quoy pource qu’on a desia le point M, on trouue aussy les poins A et Y ; et en suite le point H, par le problesme precedent. Mais auparauant il faut regarder, si la ligne AM ainsi trouuée est plus grande que 
$\frac{ge}{d-e}$, ou plus petite, ou esgale. Car si elle est plus grande, on apprent de là que la courbe AC doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre ; et CY la premiere d’vne du troisiesme, ainsi qu’elles ont esté icy supposées : au lieu que si elle est plus petite, cela monstre que c’est CY, qui doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre ; et que AC doit estre la premiere d’vne du troisiesme : Enfin si AM est esgale à Maire, p. 368
Image haute résolution sur Gallica $\frac{ge}{d-e}$, les deux courbes AC et CY doiuent estre deux hyperboles.
On pourroit estendre ces deux problesmes à vne infinité d’autres cas, que ie ne m’areste pas à deduire, à cause qu’ils n’ont eu aucun vsage en la Dioptrique.
On pourroit aussy passer outre, et dire, lorsque l’vne des superficies du verre est donnée, pouruû qu’elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques, ou de cercles ; comment on doit faire son autre superficie, affin qu’il transmette tous les rayons d’vn point donné, à vn autre point aussy donné. car ce n’est rien AT VI, 440
de plus difficile que ce que ie viens d’expliquer ; ou plutost c’est chose beaucoup plus facile, à cause que le chemin en est ouuert. Mais i’ayme mieux, que d’autres le cherchent, affinque s’ils ont encore vn peu de peine à le trouuer, cela leur face d’autant plus estimer l’inuention des choses qui sont icy demonstrées.
Commẽt on peut appliquer ce qui a esté dit icy des lignes courbes descrites sur vne superficie plate, à celles qui se descriuẽt dãs vn espace qui a trois dimensions.Au reste ie n’ay parlé en tout cecy, que des lignes courbes, qu’on peut descrire sur vne superficie plate ; mais il est aysé de rapporter ce que i’en ay dit, à toutes celles qu’on sçauroit imaginer estre formées, par le mouuement regulier des poins de quelque cors, dans vn espace qui a trois dimensions. À sçauoir en tirant deux perpendiculaires, de chascun des poins de la ligne courbe qu’on veut considerer, sur deux plans qui s’entrecouppent à angles droits, l’vne sur l’vn, et l’autre sur l’autre. car les extremités de ces perpendiculaires descriuent deux autres lignes courbes, vne sur chascun de ces plans ; desquelles on peut, en la façon cy dessus expliquée, determiner tous Maire, p. 369
Image haute résolution sur Gallica les poins, et les rapporter à ceux de la ligne droite, qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoy ceux de la courbe, qui a trois dimensions, sont entierement determinés. Mesme si on veut tirer vne ligne droite, qui couppe cete courbe au point donné à angles droits : il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, vne en chascun, qui couppent à angles droits les deux lignes courbes, qui y sont, aux deux poins, où tombent les perpendiculaires qui vienent de ce point donné. car ayant esleué deux autres plans, vn sur chascune de ces lignes droites, qui couppe à angles droits le plan où elle est, on aura l’intersection de ces deux AT VI, 441
plans pour la ligne droite cherchée. Et ainsi ie pense n’auoir rien omis des elemens, qui sont necessaires pour la connoissance des lignes courbes.
LA GEOMETRIE.
LIVRE TROISIESME.
De la construction des Problesmes, qui sont Solides, ou plusque Solides.
De quelles lignes courbes on peut se seruir, en la construction de chasq; problesme.Encore que toutes les lignes courbes, qui peuuent estre descrites par quelque mouuement regulier, doiuent estre receuës en la Geometrie, ce n’est pas à dire qu’il soit permis de se seruir indifferemment de la premiere qui se rencontre, pour la construction de chasque Maire, p. 370
Image haute résolution sur Gallica problesme : mais il faut auoir soin de choisir tousiours la plus simple, par laquelle il soit possible de le resoudre. Et mesme il est remarquer, que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles, qui peuuent le plus aysement estre descrites, ny celles qui rendent la construction, ou la demonstration du Problesme proposé plus facile, mais principalement celles, qui sont du plus simple genre, qui puisse seruir à determiner la quantité qui est cherchée.
Exemple touchant l’inuentiõ de plusieurs moyẽnes proportionelles. Comme par exemple ie ne croy pas, qu’il y ait aucune façon plus facile, pour trouuer autant de moyennes proportionnelles, qu’on veut, ny dont la AT VI, 443
demonstration soit plus euidente, que d’y employer les lignes courbes, qui se descriuent par l’instrument XYZ cy dessus expliqué. Car voulant trouuer deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que descrire vn cercle, dont le diametre soit YE ; et pource que ce cercle couppe Maire, p. 371
Image haute résolution sur Gallica la courbe AD au point D, YD est l’vne des moyennes proportionnelles cherchées. Dont la demonstration se voit à l’œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD. Car comme YA, ou YB, qui luy est esgale est à YC ; ainsi YC est à YD ; et YD à YE.
Tout de mesme pour trouuer quatre moyennes proportionelles entre YA et YG ; ou pour en trouuer six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG, qui couppant AF au point F, determine la ligne droite YF, qui est l’vne de ces quatre proportionnelles ; ou YHN, qui couppant AH au point H, determine YH l’vne des six, et ainsi des autres.
Mais pource que la ligne courbe AD est du second AT VI, 444
genre, et qu’on peut trouuer deux moyenes proportionelles par les sections coniques, qui sont du premier ; et aussy pource qu’on peut trouuer quatre ou six moyenes proportionelles, par des lignes qui ne sont pas de genres si composés, que sont AF, et AH, ce seroit vne faute en Geometrie que de les y employer. Et c’est vne faute aussy d’autre costé de se trauailler inutilement à vouloir construire quelque problesme par vn genre de lignes plus simple, que sa nature ne permet.
De la nature des Equatiõs.Or affin que ie puisse icy donner quelques reigles, pour euiter l’vne et l’autre de ces deux fautes, il faut que ie die quelque chose en general de la nature des Equations ; c’est à dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les vns sont esgaux aux autres, ou plutost qui considerés tous ensemble sont esgaux à rien. Car ce sera souuent le meilleur de les considerer en cete sorte.
Maire, p. 372
Image haute résolution sur Gallica Combien il peut y auoir de racines en chasq; Equatiõ.Scachés donc qu’en chasque Equation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut il y auoir de diuerses racines, c’est à dire de valeurs de cete quantité. Car par exemple si on suppose $x$ esgale à 
$2$ ; ou bien 
$x-2$ esgal à rien ; et derechef 
$x\ad3$ ; ou bien 
$x-3\ad0$ ; en multipliant ces deux equations 
$x-2\ad0$, et $x-3\ad0$, l’vne par l’autre, on aura 
$xx-5x+6\ad0$, ou bien 
$xx\ad5x-6$, qui est vne Equation en laquelle la quantité $x$ vaut $2$ et tout ensemble vaut 
$3$. Que si derechef on fait AT VI, 445
$x-4\ad0$, et qu’on multiplie cete somme par $xx-5x+6\ad0$, on aura 
$x^3-9xx+26x-24\ad0$, qui est vne autre Equation en laquelle $x$ ayant trois dimensions a aussy trois valeurs, qui sont $2$, $3$, et $4$.
Quelles sont les fausses racines.Mais souuent il arriue, que quelques vnes de ces racines sont fausses, ou moindres que rien. si on suppose que $x$ designe aussy le defaut d’vne quantité, qui soit 
$5$, on a 
$x+5\ad0$, qui estant multipliée par$x^3-9xx+26x-24\ad0$ fait
$$x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$$ pour vne equation en laquelle il y a quatre racines, à sçauoir trois vrayes qui sont $2$, $3$, $4$, et vne fausse qui est $5$.
Cõment on peut diminuer le nombre des dimensions d’vne Equation lorsqu’on connoist quelqu’vne de ses racines.Et on voit euidemment de cecy, que la somme d’vne equation, qui contient plusieurs racines, peut tousiours estre diuisée par vn binóme composé de la quantité inconnuë, moins la valeur de l’vne des vrayes racines, laquelle que ce soit ; ou plus la valeur de l’vne des fausses. Au moyen de quoy on diminue d’autant ses dimensions.
Cõment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’vne racine.Et reciproquement que si la somme d’vne equation Maire, p. 373
Image haute résolution sur Gallica ne peut estre diuisée par vn binóme composé de la quantité inconnue $+$ ou $-$ quelque autre quantité, cela tesmoigne que cete autre quantité n’est la valeur d’aucune de ses racines. Comme cete derniere $x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$ peut bien estre diuisée, par $x-2$, et par 
$x-3$, et par AT VI, 446
$x-4$, et par 
$x+5$ ; mais non point par $x$ $+$ ou $-$ aucune autre quantité. ce qui monstre qu’elle ne peut auoir que les quatre racines $2$, $3$, $4$, et $5$.
Combien il peut y auoir de vrayes racines en chasque Equatiõ.On connoist aussy de cecy combien il peut y auoir de vrayes racines, et combien de fausses en chasque Equation. À sçauoir il y en peut auoir autant de vrayes, que les signes $+$ et $-$ s’y trouuent de fois estre changés ; et autant de fausses qu’il s’y trouue de fois deux signes $+$, ou deux signes $-$ qui s’entresuiuent. Comme en la derniere, à cause qu’aprés 
$+x^4$ il y a 
$-4x^3$, qui est vn changement du signe $+$ en $-$, et aprés 
$-19xx$, il y a 
$+106x$ et aprés $+106x$ il y a 
$-120$ qui sont encore deux autres changemens, on connoist qu’il y a trois vrayes racines ; et vne fausse, à cause que les deux signes $-$, de 
$4x^3$ et 
$19xx$ s’entresuiuent.
Cõment on fait que les fausses racines d’vne Equation deuienẽt vrayes, et les vrayes fausses.De plus il est aysé de faire en vne mesme Equation, que toutes les racines qui estoient fausses deuienent vrayes, et par mesme moyen que toutes celles qui estoiẽt vrayes deuienent fausses : à sçauoir en changeant tous les signes $+$ ou $-$ qui sont en la seconde, en la quatriesme, en la sixiesme, ou autres places qui se designent par les nombres pairs, sans changer ceux de la premiere, de la troisiesme, de la cinquiesme et semblables qui se designent par les nombres Maire, p. 374
Image haute résolution sur Gallica impairs. Comme si au lieu de 
$+x^4-4x^3-19xx+106x-120\ad0$ on escrit 
$+x^4+4x^3-19xx-106x-120\ad0$ on a vne Equation en laquelle il n’y a qu’vne vraye AT VI, 447
racine, qui est $5$, et trois fausses qui sont $2$, $3$, et $4$.
Cõment on peut augmenter ou diminuer les racines d’vne Equation, sans les connoistre.Que si sans connoistre la valeur des racines d’vne Equation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connuë, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu en supposer vn autre, qui soit plus ou moins grand de cete mesme quantité, et le substituer par tout en la place du premier.
Comme si on veut augmenter de $3$ la racine de cete Equation 
$x^4+4x^3-119xx-106x-120\ad0$ il faut prendre $y$ au lieu d’$x$, et penser que cete quantité $y$ est plus grande qu’$x$ de $3$, en sorte que 
$y-3$ est esgal à $x$, et au lieu d’$xx$, il faut mettre le quarré d’$y-3$ qui est 
$yy-6y+9$ et au lieu d’$x^3$ il faut mettre son cube qui est 
$y^3-9yy+27y-27$, et enfin au lieu d’
$x^4$ il faut mettre son quarré de quarré qui est 
$y^4-12y^3+54yy-108y+81$. Et ainsi descriuant la somme precedente en substituant partout $y$ au lieu d’$x$ on a 
$\begin{array}{rrrrrr} y^4&-12y^3&+54yy&-108y&+81&\\ &+4y^3&-36yy&+108y&-108&\\ &&-19yy&+114y&-171&\\ &&&-106y&+318&\\ &&&&-120&\\ \hline\\ y^4&-8y^3&-1yy&+8y&*&=0 \end{array}$
Maire, p. 375
Image haute résolution sur Gallica ou bien 
$y^3-8yy-1y+8\ad0$ où la vraye racine qui estoit $5$ est maintenant 
$8$, à cause du nombre trois qui luy est aiousté.
AT VI, 448
Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cete mesme Equation, il faut faire 
$y+3\ad x$ et 
$yy+6y+9\ad xx$. Et ainsi des autres de façon qu’au lieu de $x^4+4x^3-19xx-106x-120\ad0$ on met 
$\begin{array}{rrrrrr} y^4&+12y^3&+54yy&+108y&+81&\\ &+4y^3&+36yy&+108y&+108&\\ &&-19yy&-114y&-171&\\ &&&-106y&-318&\\ &&&&-120&\\ \hline\\ y^4&+16y^3&+71yy&-4y&-420&\ad\,\,0. \end{array}$
Qu’en augmentant les vrayes racines on diminue les fausses, et au contraire.Et il est remarquer qu’en augmentant les vrayes racines d’vne Equation, on diminue les fausses de la mesme quantité ; ou au contraire en diminuant les vrayes, on augmente les fausses. Et que si on diminue soit les vnes soit les autres, d’vne quantité qui leur soit esgale, elles deuienent nulles, et que si c’est d’vne quantité qui les surpasse, de vrayes elles deuienent fausses, ou de fausses vrayes. Comme icy en augmentant de $3$ la vraye racine qui estoit $5$, on a diminué de $3$ chascune des fausses, en sorte que celle qui estoit $4$ n’est plus qu’$1$, et celle qui estoit $3$ est nulle, et celle qui estoit $2$ est deuenue vraye et est $1$, à cause que 
$-2+3$ fait 
$+1$. c’est pourquoy en cete Equation $y^3-8yy-1y+8\ad0$ il n’y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vrayes, Maire, p. 376
Image haute résolution sur Gallica $1$, et $8$, et vne fausse qui est aussy $1$. Et en cete autre AT VI, 449
$y^4+16y^3+71yy-4y-420\ad0$ il n’y en a qu’vne vraye qui est $2$, à cause que 
$+5-3$ fait 
$+2$, et trois fausses qui sont $5$, 
$6$, et 
$7$.
Cõment on peut oster le second terme d’vne Equation.Or par cete façon de changer la valeur des racines sans les connoistre, on peut faire deux choses, qui auront cy aprés quelque vsage : la premiere est qu’on peut tousiours oster le second terme de l’Equation qu’on examine, à sçauoir en diminuant les vrayes racines, de la quantité connuë de ce second terme diuisée par le nombre des dimensions du premier, si l’vn de ces deux termes estant marqué du signe $+$, l’autre est marqué du signe $-$ ; ou bien en l’augmentant de la mesme quantité, s’ils ont tous deux le signe $+$, ou tous deux le signe $-$. Comme pour oster le second terme de la derniere Equatiõ qui est $y^4+16y^3+71yy-4y-420\ad0$ayant diuisé 
$16$ par $4$, à cause des 4 dimensions du terme 
$y^4$, il vient derechef $4$, c’est pourquoy ie fais 
$z-4\ad y$, et i’escris 
$\begin{array}{rrrrrr} z^4&-16z^3&+96zz&-256z&+256&\\ &+16z^3&-192zz&+768z&-1024&\\ &&+71zz&-568z&+1136&\\ &&&-4z&+16&\\ &&&&-420&\\ \hline\\ z^4&*&-25zz&-60z&-36&\ad\,\,0. \end{array}$
où la vraye racine qui estoit $2$, est $6$, à cause qu’elle AT VI, 450
est augmentée de $4$ ; et les fausses qui estoient $5$, $6$, et $7$, ne sont plus que $1$, $2$, et $3$, à cause qu’elles sont diminuées, chascune de $4$.
Maire, p. 377
Image haute résolution sur Gallica Tout de mesme si on veut oster le second terme de
, pource que diuisant 
$2a$ par $4$ il vient $\frac{1}{2}\,a$ ; il faut faire 
$z+\frac{1}{2}\,a\ad x$ et escrire 
\begin{array}{rrrrrr} z^4&+2az^3&+\frac{3}{2}\,aazz&+\frac{1}{2}\,a^3z&+\frac{1}{16}\,a^4&\\ &-2az^3&-3aazz&-\frac{3}{2}\,a^3z&-\frac{1}{4}\,a^4&\\ &&+2aazz&+2a^3z&+\frac{1}{2}\,a^4&\\ &&-cczz&-accz&-\frac{1}{4}\,aacc&\\ &&&-2a^3z&-a^4&\\ &&&&+a^4&\\ \hline\\ z^4&*&+\frac{1}{2}\,aazz&-a^3z&+\frac{5}{16}\,a^4\\ &&-cczz&-accz&-\frac{1}{4}\,aacc&\ad\,\,0\end{array}
et si on trouue aprés la valeur de $z$, en luy adioustant $\frac{1}{2}\,a$ on aura celle de $x$.
Cõment on peut faire que toutes les fausses racines d’vne Equation deuienẽt vrayes, sans que les vrayes deuienẽt fausses.La seconde chose, qui aura cy aprés quelque vsage, est, qu’on peut tousiours en augmentant la valeur des vrayes racines, d’vne quantité qui soit plus grande que n’est celle d’aucune des fausses, faire qu’elles deuienent toutes vrayes, en sorte qu’il n’y ait point deux signes $+$, ou deux signes $-$ qui s’entresuiuent, et outre cela que la quantité connuë du troisiesme terme soit plus grande, que le quarré de la moitié de celle du second. Car encore que cela se face, lorsque ces fausses racines sont inconnuës, il est aysé neanmoins AT VI, 451
de iuger à peu prés de leur grandeur, et de prendre vne quantité, qui les surpasse d’autant, ou de plus, qu’il n’est requis à cet effect. Comme si on a Maire, p. 378
Image haute résolution sur Gallica 
$x^6+nx^5-6nnx^4+36n^3x^3-216n^4x^2+1296n^5x-7776n^6$ en faisant 
$y-6n\ad x$, on trouuera 
$\begin{array}{rrrrrrrrrrrr} y^6&-36ny^5&+540nny^4&-4320n^3y^3&+19440n^4yy&-46656n^5y&+46656n^6\\ &+n\hphantom{y^5}&-30nn\hphantom{y^5}&+360n^3\hphantom{y^5}&-2160n^4 \hphantom{y^5}&+6480n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&-6nn\hphantom{y^5}&+144n^3\hphantom{y^5}&-1296n^4\hphantom{y^5}&+5184n^5 \hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&+36n^3\hphantom{y^5}&-648n^4\hphantom{y^5}&+3888n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&-216n^4\hphantom{y^5}&+2592n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&&+1296n^5\hphantom{y}&-7776n^6\\ &&&&&&-7776n^6\\ \hline\\ y^6&-35y^5&+504nny^4&-3780n^3y^3&+15120n^4yy&-27216n^5y&*\ad\,\,0\quad \end{array}$.
Ou il est manifeste, que 
, qui est la quantité connuë du troisiesme terme est plus grande, que le quarré de 
$\frac{35}{2}\,n$, qui est la moitié de celle du second. Et il n’y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vrayes racines, ait besoin à cet effect, d’estre plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour cetuy cy.
Cõment on fait que toutes les places d’vne Equation soient remplies.Mais à cause que le dernier terme s’y trouue nul, si on ne desire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; Et ce ne sçauroit estre de si peu, que ce ne soit assés pour cet effect. Non plus que lorsqu’on veut accroistre le nombre des dimensions de quelque Equation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies. Comme si au lieu de 
$x^5****-b\ad0$, on veut auoir vne Equation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premierement pour 
$x^5****-b\ad0$ AT VI, 452
escrire 
$x^6****-bx\ad0$ puis ayant fait 
$y-a\ad x$, on aura 
$y^6-6ay^5+15aay^4-20a^3y^3+15a^4yy-(6a^5+b)y+a^6+ab\ad0$ Ouoù il est manifeste que tant petite que la quantité $a$ soit Maire, p. 379
Image haute résolution sur Gallica supposée toutes les places de l’Equation ne laissent pas d’estre remplies.
Commẽt on peut multiplier ou diuiser les racines sans les connoistre.De plus on peut, sans connoistre la valeur des vrayes racines d’vne Equation, les multiplier, ou diuiser toutes, par telle quantité connuë qu’on veut. Ce qui se fait en supposant que la quantité inconnuë estant multipliée, ou diuisée, par celle qui doit multiplier, ou diuiser les racines, est esgale quelque autre. Puis multipliant, ou diuisant la quantité connuë du second terme, par cete mesme qui doit multiplier, ou diuiser les racines ; et par son quarré, celle du troisiesme ; et par son cube, celle du quatriesme ; et ainsi iusques au dernier.Cõment on reduist les nombres rompus d’vne Equation des entiers.Ce qui peut seruir pour reduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souuent aussy les nombres sours, qui se trouuent dans les termes des Equations. Comme si on a 
$x^3-\sqrt{3}\,xx+\frac{26}{27}\,x-\frac{8}{27\sqrt3}\ad0$, et qu’on veuille en auoir vne autre en sa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer 
$y=x\sqrt3$, et multiplier par 
$\sqrt3$ AT VI, 453
la quantité connuë du second terme, qui est aussy $\sqrt3$, et par son quarré qui est $3$ celle du troisiesme qui est 
$\frac{26}{27}$, et par son cube qui est 
$3\sqrt3$ celle du dernier, qui est 
$\frac{8}{27\sqrt3}$, ce qui fait 
$y^3-3yy+\frac{26}{9}\,y-\frac{8}{9}\ad0$. Puis si on en veut auoir encore vne autre en la place de celle cy, dont les quantités connuës ne s’expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer 
$z=3y$, et multipliant $3$ par $3$, 
$\frac{26}{9}$ par 
$9$, et 
$\frac{8}{9}$ par 
$27$ on trouue 
$z^3-9zz+26z-24\ad0$, où les racines estant $2$, $3$, et $4$, on connoist de là que celles de l’autre d’auparauant Maire, p. 380
Image haute résolution sur Gallica estoient 
$\frac{2}{3}$, $1$, et 
$\frac{4}{3}$, et que celles de la premiere estoient 
$\frac{2}{9}\,\sqrt3$, 
$\frac{1}{3}\,\sqrt3$, et 
$\frac{4}{9}\,\sqrt3$.
Cõment on rend la quantité connuë de l’vn des termes d’vne Equation esgale telle autre qu’on veut.Cete operation peut aussy seruir pour rendre la quantité connuë de quelqu’un des termes de l’Equatiõ esgale à quelque autre donnée, comme si ayant 
$x^3*-bbx+c^3\ad0$ . On, on veut auoir en sa place vne autre Equation, en laquelle la quantité connuë, du terme qui occupe la troisiesme place, à sçauoir celle qui est icy 
$bb$, soit 
$3aa$, il faut supposer 
$y=x\sqrt{\frac{3aa}{bb}}$ ; puis escrire 
$y^3*-3aay+\frac{3a^3c^3}{b^3}\,\sqrt3\ad0$.
Que les racines, tant vrayes que fausses peuuent estre reelles ou imaginaires.Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousiours reelles ; mais quelquefois seulement imaginaires ; c’est à dire qu’on peut bien tousiours en imaginer autant que iay dit en chasque Equation ; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde AT VI, 454
à celles qu’on imagine. comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, 
$x^3-6xx+13x-10\ad0$, il n’y en a toutefois qu’vne reelle, qui est $2$, et pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que ie viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.
La reduction des Equatiõs cubiques lorsque le problesme est plan.Or quand pour trouuer la construction de quelque problesme, on vient à vne Equation, en laquelle la quantité inconnuë a trois dimensions ; premierement si les quantités connuës, qui y sont, contienent quelques nombres rompus, il les faut reduire à d’autres entiers, par la multiplication tantost expliquée ; Et s’ils en contienent de sours, il faut aussy les reduire à d’autres rationaux, autant qu’il sera possible, tant par cete mesme multiplication, Maire, p. 381
Image haute résolution sur Gallica que par diuers autres moyens, qui sont assés faciles à trouuer. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuuent diuiser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu’vne d’elles, iointe auec la quantité inconnuë par le signe $+$ ou $-$, peut composer vn binome, qui diuise toute la somme ; et si cela est, le Problesme est plan, c’est à dire il peut estre construit auec la reigle et le compas ; Car ou bien la quantité connuë de ce binosme est la racine cherchée ; ou bien l’Equation estant diuisée par luy, se reduist à deux dimensions, en sorte qu’on en peut trouuer aprés la racine, par ce qui a esté dit au premier liure.
Par exemple si on a 
$y^6-8y^4-124y^2-64\ad0$ AT VI, 455
le dernier terme, qui est 
$64$, peut estre diuisé sans fraction par $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, 
$32$, et $64$ ; C’est pourquoy il faut examiner par ordre si cete Equation ne peut point estre diuisée par quelqu’vn des binomes, 
$yy-1$ ou 
$yy+1$, 
$yy-2$ 
$yy+2$, 
$yy-4$ etc. Et on trouue qu’elle peut l’estre par 
$yy-16$, en cete sorte. 
$$\begin{array}{rrrrr} +y^6&-8y^4&-124yy&-64&=0\\\\ -1y^6&-8y^4&-4yy&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\\ 0&-16y^4&-128yy&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&\\ &-16&-16&-16&\\ \hline\\ &+y^4&+8yy&+4&=0. \end{array}$$.
La façon de diuiser vne Equation par vn binome qui contiẽt sa racine.Ie commence par le dernier terme, et diuise 
$-64$ par 
$-16$, ce qui fait 
$+4$, que i’escris dans le quotient, puis ie multiplie $+4$ par 
$+yy$, ce qui fait 
$+4yy$ ; c’est pourquoy i’escris 
en la somme, qu’il faut diuiser. car il y Maire, p. 382
Image haute résolution sur Gallica faut tousiours escrire le signe $+$ ou $-$ tout contraire à celuy que produist la multiplication. Et ioignant 
$-124yy$ auec $-4yy$, iay 
$-128yy$, que ie diuise derechef par $-16$, et iay 
$+8yy$, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par $yy$, iay 
$-8y^4$, pour ioindre auec le terme qu’il faut diuiser, qui est aussy $-8y^4$, et ces deux ensemble font 
$-16y^4$, que ie diuise par $-16$, ce qui fait 
$+1y^4$ pour le quotient, et 
$-1y^6$ pour ioindre auec 
$+1y^6$, ce qui fait $0$, et monstre que la diuision est acheuée. Mais s’il estoit resté quelque quantité, ou bien qu’on n’eust pû diuiser sans fraction quelqu’vn des termes precedens, on eust par là reconnu, quellequ’elle ne pouuoit estre faite.
AT VI, 456
Tout de mesme si on a 
$y^6+(aa-2cc)y^4+(-a^4+c^4)yy-a^6-2a^4cc-aac^4\ad0$ le dernier terme se peut diuiser sans fraction par $a$, $aa$, 
$aa+cc$, 
$a^3+acc$ et semblables. Mais il n’y en a que deux qu’on ait besoin de considerer, à sçauoir $aa$ et $aa+cc$ ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu’il n’y en a en la quantité connuë du penultiesme terme, empescheroient que la diuision ne s’y pûst faire. Et notés, que ie ne conte icy les dimensions d’
$y^6$, que pour trois, à cause qu’il n’y a point d’
$y^5$, ny d’$y^3$, ny d’$y$ en toute la somme. Or en examinant le binóme 
$yy-aa-cc\ad0$, on trouue que la diuision se peut faire par luy en cete sorte. 
$$\begin{array}{rrrrr} +y^6&+(+aa-2cc)\,y^4&+(-a^4+c^4)\,yy&-a^6-2a^4cc-a^2c^4&ad\,\,0,\\\\ -y^6&+(-2aa+cc)\,y^4&+(-a^4-aacc)\,yy&&\\ \begin{matrix}&\\ \hline&\\ \end{matrix}&&&&\\ 0&&&&\\ &\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&\\ \end{matrix}&\begin{matrix}&\\ \hline&&&&&&&\\ \end{matrix}&\\ &-aa-cc&-aa-cc&-aa-cc&\\ \hline\\ &+y^4&+(2aa-cc)\,yy&+a^4+aacc&ad\,\,0. \end{array}$$.
Maire, p. 383
Image haute résolution sur Gallica Ce qui monstre que la racine cherchée est $aa+cc$. Et la preuue en est aysée à faire par la multiplication.
Quels problesmes sont solides, lorsque l’Equation est cubiqueMais lorsqu’on ne trouue aucun binóme, qui puisse ainsi diuiser toute la somme de l’Equation proposée, il est certain que le Problesme qui en depend est solide. AT VI, 457
Et ce n’est pas vne moindre faute aprés cela, de tascher le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce seroit d’employer des sections coniques à construire ceux ausquels on n’a besoin que de cercles. enfin tout ce qui tesmoigne quelque ignorance s’appele faute.
La reduction des Equations qui ont quatre dimẽsions, lorsque le problesme est plan. Et quels sont ceux qui sont solides.Que si on a vne Equation dont la quantité inconnuë ait quatre dimensions, il faut en mesme façon, aprés en auoir osté les nombres sours, et rompus, s’il y en a, voir si on pourra trouuer quelque binóme, qui diuise toute la somme, en le composant de l’vne des quantités, qui diuisent sans fraction le dernier terme. Et si on en trouue vn, ou bien la quantité connuë de ce binóme est la racine cherchée ; ou du moins aprés cete diuision, il ne reste en l’Equation, que trois dimensions, en suite de quoy il faut derechef l’examiner en la mesme sorte. Mais lorsqu’il ne se trouue point de tel binóme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, oster le second terme de la somme, en la façon tantost expliquée. Et aprés la reduire à vne autre, qui ne contiene que trois dimensions. Ce qui se fait en cete sorte. Au lieu de 
$+x^4*.pxx.qx.r\ad0$, il faut escrire 
$+y^6.2py^4.(+pp.4r)yy-qq\ad0$.
Et pour les signes $+$ ou $-$, que iay omis, s’il y a Maire, p. 384
Image haute résolution sur Gallica eu 
$+p$ en la precedente Equation, il faut mettre en cellecy 
$+2p$, ou s’il y a eu 
$-p$, il faut mettre 
$-2p$. Et au contraire s’il y a eu 
$+r$, il faut mettre 
$-4r$, ou s’il y AT VI, 458
a eu 
$-r$, il faut mettre 
$+4r$. Et soit qu’il y ait eu 
$+q$, ou 
$-q$, il faut tousiours mettre 
$-qq$, et 
$+pp$. au moins si on suppose que $x^4$, et $y^6$ sont marqués du signe $+$, car ce seroit tout le contraire si on y supposoit le signe $-$.
Par exemple si on à 
$+x^4*-4xx-8x+35\ad0$ il faut escrire en son lieu 
$y^6-8y^4-124yy-64\ad0$. car la quantité que iay, nommée $p$ estant 
$-4$, il faut mettre 
$-8y^4$ pour 
$2py^4$. Et celle, que iay nommée $r$ estant 
$35$, il faut mettre 
$(+16-140)yy$, c’est à dire 
$-124yy$, au lieu de 
$(+pp-4r)yy$. Et enfin $q$ estant $8$, il faut mettre $-64$, pour $-qq$. Tout de mesme au lieu de 
$+x^4*-17xx-20x-6\ad0$. il faut escrire 
$+y^6-34y^4+313yy-400\ad0$. Car 
$34$ est double de 
$17$, et 
$313$ en est le quarré ioint au quadruple de $6$, et 
$400$ est le quarré de 
$20$.
Tout de mesme aussy au lieu de
$+z^4*+\Big(\frac{1}{2}aa-cc\Big)zz+(-a^3-acc)z+\frac{5}{16}a^4-\frac{1}{4}aacc \ad0$, Iil faut escrire 
$y^6+(+aa-2cc)y^4+(-a^4+c^4)yy+(-a^6-2a^4cc-aac^4)\ad0$. Car $p$ est 
$\frac{1}{2}aa-cc$, et 
$pp$, est 
$\frac{1}{4}a^4-aacc+c^4$, et $4r$ est 
$-\frac{5}{4}+aacc$, et enfin $-qq$ est 
$-a^6-2a^4cc-aac^4$.
AT VI, 459
Aprés que l’Equation est ainsi reduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur d’$yy$ par la methode desia expliquée ; Et si celle ne peut estre trouuée, on n’a point Maire, p. 385
Image haute résolution sur Gallica besoin de passer outre ; car il suit de là infalliblement, que le problesme est solide. Mais si on la trouue, on peut diuiser par son moyen la precedente Equation en deux autres, en chascune desquelles la quantité inconnuë n’aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mesmes que les sienes. À sçauoir, au lieu de $\quad+x^4*.pxx.qx.r\ad0\quad$, il faut escrire ces deux autres 
$+xx-yx+\frac{1}{2}yy.\frac{1}{2}p.\frac{q}{2y}\ad0$, et 
$+xx+yx+\frac{1}{2}yy.\frac{1}{2}p.\frac{q}{2y}\ad0$.
Et pour les signes$+$ et $-$ que iay omis, s’il y a $+p$ en l’Equation precedente, il faut mettre 
$+\frac{1}{2}p$ en chascune de celles cy ; et 
$-\frac{1}{2}p$, s’il y a en l’autre $-p$. Mais il faut mettre 
$+\frac{q}{2y}$ ; en celle où il y a 
$-yx$ ; et 
$-\frac{q}{2y}$, en celle où il y a 
$+yx$, lorsqu’il y a $+q$ en la premiere. Et au contraire s’il y a $-q$, il faut mettre $-\frac{q}{2y}$, en celle où il y a $-yx$ ; et $+\frac{q}{2y}$, en celle où il y a $+yx$. En suite de quoy il est aysé de connoistre toutes les racines de l’Equation proposée, et par consequent de construire le problesme, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.
Par exemple à cause que faisant $y^6-34y^4+313yy-400\ad0$, pour $x^4*-17xx-20x-6=0$, AT VI, 460
on trouue que $yy$ est $16$, on doiit au lieu de cete Equation 
$+x^4*-17xx-20x-6\ad0$, escrire ces deux Maire, p. 386
Image haute résolution sur Gallica autres 
$+xx-4x-3\ad0$. Et 
$+xx+4x+2\ad0$. car $y$ est $4$, 
$\frac{1}{2}\,yy$ est $8$, $p$ est $17$, et $q$ est $20$, de façonque 
$+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p-\frac{q}{2y}$ fait 
$-3$, et 
$+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p+\frac{q}{2y}$ fait 
$+2$. Et tirant les racines de ces deux Equations, on trouue toutes les mesmes, que si on les tiroit de celle où est $x^4$, à sçauoir on en trouue vne vraye, qui est 
$\sqrt{7}+2$, et trois fausses, qui sont 
$\sqrt{7}-2$, 
$2+\sqrt2$, et 
$2-\sqrt2$. Ainsi ayant 
$x^4-4xx-8x+35\ad0$, pource que la racine de 
$y^6-8y^4-124yy+64\ad0$, est derechef $16$, il faut escrire 
$xx-4x+5\ad0$, et 
$xx+4x+7\ad0$. Car icy $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p-\frac{q}{2y}$ fait $5$, et $+\frac{1}{2}\,yy-\frac{1}{2}\,p+\frac{q}{2y}$ fait $7$. AT VI, 461
Et pourcequ’on ne trouue aucune racine, ny vraye, ny fausse, en ces deux dernieres Equations, on connoist de là que les quatre de l’Equation dont elles procedent sont imaginaires ; et que le Problesme, pour lequel on l’a trouuée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne sçauroit en aucune façon estre construit, à cause que les quantités données ne peuuent se ioindre.
Tout de mesme ayant 
$z^4*+\Big(\frac{1}{2}\,aa-cc\Big)zz+(-a^3-acc)z+\frac{5}{16}\,a^4-\frac{1}{4}\,aacc\ad0$, pourcequ’on trouue $aa+cc$ pour $yy$, il faut escrire 
$$zz-\sqrt{aa+cc}\,z+\frac{3}{4}\,aa-\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}\ad0$$, et 
$$zz+\sqrt{aa+cc}\,z+\frac{3}{4}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}\ad0$$. Car $y$ est 
$\sqrt{aa+cc}$, et 
$+\frac{1}{2}\,yy+\frac{1}{2}\,p$ est 
$\frac{3}{4}\,aa$, et 
$\frac{q}{2y}$ est 
$\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}$. D’où on connoist que la valeur de $z$ Maire, p. 387
Image haute résolution sur Gallica est 
$\frac{1}{2}\,\sqrt{aa+cc}+\sqrt{-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{4}\,cc +\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$ ou bien 
$\frac{1}{2}\,\sqrt{aa+cc}-\sqrt{-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{4}\,cc+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$. Et pource que nous auions fait cy dessus 
$z+\frac{1}{2}\,a\ad x$, nous apprenons que la quantité $x$, pour la connoissance de laquelle nous auons fait toutes ces operations, est
$$+\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+\frac{1}{4}\,cc}-\sqrt{\frac{1}{4}\,cc-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}.$$.
Exemple de l’vsage de ces reductions.
Mais affin qu’on puisse mieux connoistre l’vtilité de AT VI, 462
cete reigle il faut que ie l’applique à quelq; Problesme.
Si le quarré AD, et la ligne BN estant donnés, il faut prolonger le costé AC iusques à E, en sorte qu’EF, tirée d’E vers B, soit esgale à NB. On apprent de 
Image haute résolution sur Gallica sont elles qui conduisent le plus aysement al’Equatiõ : et lors ils en trouueroiẽt vne qui ne seroit pas facile à demesler, sans la reigle que ie viens d’expliquer. Car posant $a$ pour BD ou CD, et $c$ pour EF, et $x$ pour DF, on a CF 
$\ad a-x$, et cõme CF ou 
$a-x$, est à FE ou $c$, ainsi FD ou $x$, est à BF, qui par consequent est 
$\frac{cx}{a-x}$. Puis à cause du triangle rectangle BDF, dont les costés sont l’vn $x$ et l’autre $a$, leurs quarrés, qui sont 
$xx+aa$, sont esgaux à celuy de la baze, qui est 
$\frac{ccxx}{xx-2ax+aa}$, de façon que multipliant le tout par 
$xx-2ax+aa$, on trouue que l’Equation est 
$x^4-2ax^3+2aaxx-2a^3x+a^4\ad ccxx$, ou bien AT VI, 463
$x^4-2ax^3+(2aa-cc)xx-2a^3x+a^4\ad0$. Et on connoist par les reigles precedentes, que sa racine, qui est la longeur de la ligne DF, est 
$+\frac{1}{2}\,a+\sqrt{\frac{1}{4}\,aa+\frac{1}{4}\,cc}-\sqrt{\frac{1}{4} \,cc-\frac{1}{2}\,aa+\frac{1}{2}\,a\sqrt{aa+cc}}$.
Que si on posoit BF, ou CE, ou BE pour la quantité inconnuë, on viendroit derechef à vne Equation, en laquelle il y auroit 4 dimensions, mais qui seroit plus aysée à démesler, et on y viendroit assés aysement ; au lieu que si c’estoit DG qu’on supposast, on viendroit beaucoup plus difficilement à l’Equation, mais aussy elle seroit tres simple. Ce que ie mets icy pour vous auertir, que lorsque le Problesme proposé n’est point solide, si en le cherchant par vn chemin on vient à vne Equation fort composée, on peut ordinairement venir à vne plus simple, en le cherchant par vn autre.
Ie pourrois encore aiouster diuerses reigles pour démesler les Equations, qui vont au Cube, ou au Quarré Maire, p. 389
Image haute résolution sur Gallica de quarré, mais elles seroient superfluës ; car lorsque les Problesmes sont plans, on en peut touiours trouuer la construction par celles cy.
Regle generale pour reduire les Equatiõs qui passent le quarré de quarré.Ie pourrois aussy en adiouster d’autres pour les Equations qui montent iusques au sursolide, ou au Quarré de cube, ou au delà, mais i’ayme mieux les comprendre toutes en vne, et dire en general, que AT VI, 464
lorsqu’on a tasché de les reduire à mesme forme, que celles d’autant de dimensions, qui vienent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu’ayant dénombré tous les moyens, par lesquels cete multiplication est possible, la chose n’a pû succeder par aucun, on doit s’assurer qu’elles ne sçauroient estre reduites à de plus simples. En sorte que si la quantité inconnuë à 3 onu 4 dimensions, le Problesme pour lequel on la cherche est solide ; et si elle en a 5, onu 6, il est d’vn degré plus composé ; et ainsi des autres.
Au reste i’ay omis icy les demonstrations de la plus part de ce que iay dit à cause qu’elles m’ont semblé si faciles, que pourvû que vous preniés la peine d’examiner methodiquement si iay failly, elles se presenteront à vous d’elles mesmes : et il sera plus vtile de les apprendre en cete façon, qu’en les lisant.
Facon generale pour construire tous les problesmes solides, reduits vne Equatiõ de trois ou quatre dimensions.Or quand on est assuré, que le Problesme proposé est solide, soit que l’Equation par laquelle on le cherche monte au quarré de quarré, soit qu’elle ne monte que iusques au cube, on peut tousiours en trouuer la racine par l’vne des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou mesme par quelque partie de l’vne d’elles, tant petite qu’elle puisse estre ; en ne se seruãt au reste que de lignes droites, et de cercles. Mais ie me contenteray icy de Maire, p. 390
Image haute résolution sur Gallica donner vne reigle generale pour les trouuer toutes par le moyen d’vne Parabole, à cause qu’elle est en quelque façon la plus simple.
Premierement il faut oster le second terme de l’Equation proposée, s’il n’est desia nul, et ainsi la reduire à telle forme, 
$z^3\ad*.apz.aaq$, AT VI, 465
si la quantité inconnuë n’a que trois dimensions ; ou bien à telle, 
$z^4\ad*.apzz.aaqz.a^3r$, si elle en a quatre ; ou bien en prenant $a$ pour l’vnité, à telle, 
$z^3\ad*.pz.q$, et à telle 
$z^4\ad*.pzz.qz.r$.
Maire, p. 391
Image haute résolution sur Gallica Aprés cela supposant que la Parabole FAG est desia descrite, et que son aissieu est ACDKL, et que son costé droit est $a$, ou $1$, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cete Parabole, et que A en est le sommet ; Il faut faire CD 
$\ad\frac{1}{2}\,p$, et la prendre du mesme costé, qu’est le point A au regard du point C, s’il y a $+p$ en l’Equation ; mais s’il y a $-p$ il faut la prendre de l’autre costé. Et du point D, ou bien, si la quantité 
$p$ estoit nulle, du point C il faut esleuer vne ligne à angles droits iusques à E, en sorte qu’elle soit esgale 
$\frac{1}{2}\,q$. Et enfin AT VI, 466
du centre E il faut descrire le cercle FG, dont Maire, p. 392
Image haute résolution sur Gallica 
le demidiametre soit AE, si l’Equation n’est que cubique, en sorte que la quantité $r$ soit nulle. Mais quand il y a $+r$ il faut dans cete ligne AE prolongée, prendre d’vn costé AR esgale à $r$, et de l’autre AS esgale au costé droit de la Parabole qui est $1$, et ayant descrit vn cercle dont le diametre soit RS, il faut faire AH perpẽdiculaire sur AE, laquelle AH 
rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celuy par où l’autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a $-r$ il faut aprés auoir ainsi trouué la ligne AH, AT VI, 467
inscrire AI, qui luy soit esgale, dans vn autre cercle, dont AE soit le diametre, et lors c’est par le point I, Maire, p. 393
Image haute résolution sur Gallica que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut coupper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 poins, desquels tirant des perpendiculaires sur l’aissieu, on a toutes les racines de l’Equation tant vrayes, que fausses. À sçauoir si la quantité $q$ est marquée du signe $+$, les vrayes racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouueront du mesme costé de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : Mais au contraire si cete quantité $q$ est marquée du signe $-$ les vrayes seront celles de l’autre costé ; et les fausses, ou moindres que rien seront du costé où est E le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne couppe, ny ne touche la Parabole en aucun point, cela tesmoigne qu’il n’y a aucune racine ny vraye ny fausse en l’Equation, et qu’elles sont toutes imaginaires. En sorte que cete reigle est la plus generale, et la plus accomplie qu’il soit possible de souhaiter.
Et la demonstration en est fort aysée. Car si la ligne GK, trouuée par cete construction, se nomme $z$, AK sera 
$zz$ à cause de la Parabole, en laquelle GK doit estre moyene proportionelle, entre AK, et le costé droit qui est $1$. puis si de AK i’oste AC, qui est 
$\frac{1}{2}$, et CD qui est 
$\frac{1}{2}\,p$, il reste DK, ou EM, qui est 
$zz-\frac{1}{2}\,p-\frac{1}{2}$, dont le quarré est 
$z^4-pzz-zz+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}$. AT VI, 468
Et à cause que DE, ou KM est 
$\frac{1}{2}\,q$, la toute GM est 
$z+\frac{1}{2}\,q$, dont le quarré est 
$zz+qz+\frac{1}{4}\,qq$, et assemblant ces deux quarrés, on a 
$z^4-pzz+qz+\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}$, Maire, p. 394
Image haute résolution sur Gallica pour le quarré de la ligne GE, à cause qu’elle est la baze du triangle rectangle EMG.
Mais à cause que cete mesme ligne GE est le demidiametre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d’autres termes, à sçauoir ED estant $\frac{1}{2}\,q$, et AD estant 
$\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{2}$, EA est 
$\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}}$ à cause de l’angle droit ADE, puis HA estant moyene proportionelle entre AS qui est $1$ et AR qui est $r$, elle est 
$\sqrt{r}$. Et à cause de l’angle droit EAH, le quarré de HE, ou EG est 
$\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{4}\,pp+\frac{1}{2}\,p+\frac{1}{4}+r$ : si bien que il y a Equation Maire, p. 395
Image haute résolution sur Gallica entre cete somme et la precedente. ce qui est le mesme que 
$z^4\ad*pzz-qz+r$. Et par consequent la ligne trouuée GK qui a esté nommée $z$ est la racine de cete Equation. ainsi qu’il falloit demonstrer. Et si vous appliqués ce mesme calcul à tous les autres cas de cete reigle, en changeant les signes $+$ et $-$ selon l’occasion, vous y trouuerés vostre conte en mesme sorte, sans qu’il soit besoin que ie m’y areste.
L’inuention de deux moyenes proportionelles.Si on veut donc suiuant cete reigle trouuer deux moyennes proportionelles entre les lignes $a$ et $q$ ; chascun sçait que posant $z$ pour l’vne, comme $a$ est à $z$, ainsi $z$ à 
$\frac{zz}{a}$, et 
$\frac{zz}{a}$ à 
$\frac{z^3}{aa}$ ; de façon qu’il y a Equation entre $q$ et $\frac{z^3}{aa}$, c’est à dire, 
$z^3\ad**aaq$. Et la Parabole FAG estant Maire, p. 396
Image haute résolution sur Gallica descrite, auec la partie de son aissieu AC, qui est $\frac{1}{2}\,a$ la moitié du costé droit ; il faut du point C esleuer la perpendiculaire CE esgale à $\frac{1}{2}\,q$, et du centre E, par A, descriuant le cercle AF, AT VI, 470
on trouue FL, et LA, pour les deux moyennes cherchées.
La facon de diuiser vn angle en trois.Tout de mesme si on veut diuiser l’angle NOP, ou bien l’arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties esgales ; faisant NO $\!\!\ad1$, pour le rayon du cercle, et NP 
$\!\!\ad q$, pour la subtendue de l’arc donné, et NQ 
$\!\!\ad z$, pour la subtendue du tiers de cet arc ; l’Equation vient, 
$z^3\ad*3z-q$. Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallele à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte Maire, p. 397
Image haute résolution sur Gallica que NO estant $1$, et NQ estant $z$, QR est $zz$, et RS est 
$z^3$ : Et à cause qu’il s’en faut seulement RS, ou $z^3$, que la ligne NP, qui est $q$, ne soit triple de NQ, qui est $z$, on a 
$q\ad 3z-z^3$ ou bien, $z^3\ad*3z-q$.
Puis la Parabole FAG estant descrite, et CA la moitié de son costé droit principal estant $\frac{1}{2}$, si on prend CD 
$\!\!\ad\frac{3}{2}$, et la perpendiculaire DE 
$\!\!\ad\frac{1}{2}\,q$, et que du centre E, par A, on descriue le cercle FA$g$G, il couppe cete Parabole aux trois poins F, $g$, et G, sans conter le point AT VI, 471
A qui en est le sommet. Ce qui monstre qu’il y a trois racines en cete Equation, à sçauoir les deux GK et 
$gk$, qui sont vrayes ; et la troisiesme qui est fausse, à sçauoir FL. Et de ces deux vrayes c’est $gk$ la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne NQ qui estoit cherchée. Car l’autre GK, est esgale à NV, la subtendue de la troisiesme partie de l’arc NVP, qui auec l’autre arc NQP acheue le cercle. Et la fausse FL est esgale à ces deux ensemble QN et NV, ainsi qu’il est aysé à voir par le calcul.
Que tous les problesmes solides se peuuent reduire à ces deux constructions.Il seroit superflus que ie m’arestasse à donner icy d’autres exemples ; car tous les Problesmes qui ne sont que solides se peuuent reduire à tel point, qu’on n’a aucun besoin de cete reigle pour les construire, sinon en tant qu’elle sert à trouuer deux moyennes proportionelles, ou bien à diuiser vn angle en trois parties esgales. Ainsi que vous connoistrés en considerant, que leurs difficultés peuuent tousiours estre comprises en des Equations, qui ne montent que iusque au quarré de quarré, ou au cube : Et que toutes celles qui montent au quarré de quarré, se reduisent au quarré, par le moyen de quelques autres, qui ne Maire, p. 398
Image haute résolution sur Gallica montent que iusques au cube : Et enfin qu’on peut oster le second terme de celles cy. En sorte qu’il n’y en a point qui ne se puisse reduire à quelq; vne de ces trois formes. 
$z^3\ad*-pz+q$
$z^3\ad*+pz+q$
$z^3\ad*+pz-q$.
Or si on a $z^3\ad*-pz+q$, la reigle dont 
attribue l’inuention à vn nommé 
$$\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{27}\,p^3}} -\sqrt{\textnormal{C}.-\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq+\frac{1}{27}\,p^3}}$$.
Comme aussy lorsqu’on a $z^3\ad*+pz+q$, et que le quarré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme, vne pareille reigle nous apprent que la racine est, 
$$\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}} +\sqrt{\textnormal{C}.+\frac{1}{2}\,q-\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}}$$.
D’où il paroist qu’on peut construire tous les Problesmes, dont les difficultés se reduisent à l’vne de ces deux formes, sans auoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c’est à dire, pour trouuer deux moyennes proportionelles entre ces quantités et l’vnité.
Puis si on a $z^3\ad*+pz+q$, et que le quarré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme, en supposant le cercle NQPV, dont le demidiametre NO soit 
$\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, c’est à dire la moyenne proportionelle entre le tiers de la quantité donnée $p$ et l’vnité ; et supposant aussy la ligne NP iunscrite dans ce cercle qui soit 
$\frac{3q}{p}$, Maire, p. 399
Image haute résolution sur Gallica c’est à dire qui soit à l’autre quantité donnée $q$ comme l’vnité est au tiers de $p$ ; il ne faut que diuiser chascun des deux arcs NQP et NVP en trois parties esgales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l’vn, AT VI, 473
et NV la subtendue du tiers de l’autre, qui iointes ensemble composeront la racine cherchée.
Enfin si on a 
$z^3\ad*pz-q$, en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO soit $\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, et l’inscrite NP soit 
$\frac{3p}{q}$, NQ la subtenduë du tiers de l’arc NQP sera l’vne des racines cherchées, et NV la subtendue du tiers de l’autre arc sera l’autre. Au moins si le quarré de la moitié du dernier terme, n’est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connuë du penultiesme. s’il estoit plus grand, la ligne NP ne pourroit estre inscrite dans le cercle, à cause qu’elle seroit plus longue que son diametre : Ce qui seroit cause que les deux vrayes racines Maire, p. 400
Image haute résolution sur Gallica de cete Equation ne seroient qu’imaginaires, et qu’il n’y en auroit de reelles que la fausse, qui suiuant la reigle de 
$\sqrt{\textnormal{C}.\frac{1}{2}\,q+\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}} +\sqrt{\textnormal{C}.\frac{1}{2}\,q-\sqrt{\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}\,p^3}}$.
La facon d’exprimer la valeur de toutes les racines des Equations cubiques : et en suite de toutes celles qui ne montent que iusques au quarré de quarré.Au reste il est remarquer que cete façon d’exprimer AT VI, 474
la valeur des racines par le rapport qu’elles ont aux costés de certains cubes dont il n’y a que le contenu qu’on connoisse, n’est en rien plus intelligible, ny plus simple, que de les exprimer par le rapport qu’elles ont aux subtenduës de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné. En sorte que toutes celles des Equations cubiques qui ne peuuent estre exprimées par les reigles de
Car si par exemple, on pense connoistre la racine de cete Equation, 
$z^3\ad*+pz+q$ à cause qu’on sçait qu’elle est composée de deux lignes. dont l’vne est le costé d’vn cube, duquel le contenu est $\frac{1}{2}\,q$, adiousté au costé d’vn quarré, duquel derechef le contenu est 
$\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}p^3$ ; Et l’autre est le costé d’vn autre cube, dont le contenu est la difference, qui est entre $\frac{1}{2}\,q$, et le costé de ce quarré dont le contenu est $\frac{1}{4}\,qq-\frac{1}{27}p^3$, qui est tout ce qu’on en apprent par la reigle de 
$z^3\ad*+pz-q$, en la considerant inscrite dans vn cercle, dont le demidiametre est $\sqrt{\frac{1}{3}\,p}$, et sçachant qu’elle y est la subtenduë d’vn arc dont le triple a pour sa subtendue $\frac{3q}{p}$. Mesme ces termes Maire, p. 401
Image haute résolution sur Gallica sont beaucoup moins embarassés que les autres, et ils se trouueront beaucoup plus cours si on veut vser de quelque chiffre particulier AT VI, 475
pour exprimer ces subtenduës, ainsi qu’on fait du chiffre 
$\sqrt{\textnormal{C}.}$ pour exprimer le costé des cubes.
Et on peut aussy en suite de cecy exprimer les racines de toutes les Equations qui montent iusques au quarré de quarré, par les reigles cy dessus expliquées. En sorte que ie ne sçache rien de plus à desirer en cete matiere. Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu’on les exprime en termes plus simples, ny qu’on les determine par aucune construction qui soit ensemble plus generale et plus facile.
Pourquoy les problesmes solides ne peuuent estre construits sans les sections coniques, ny ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.Il est vray que ie n’ay pas encore dit sur quelles raisons ie me fonde, pour oser ainsi assurer, si vne chose est possible, ou ne l’est pas. Mais si on prent garde comment, par la methode dont ie nme sers, tout ce qui tombe sous la consideration des Geometres, se reduist à vn mesme genre de Problesmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque Equation ; on iugera bien qu’il n’est pas malaysé de faire vn dénombrement de toutes les voyes par lesquelles on les peut trouuer, qui soit suffisant pour demonstrer qu’on a choisi la plus generale, et la plus simple. Et particulierement pour ce qui est des Problesmes solides, que iay dit ne pouuoir estre construis, sans qu’on y employe quelque ligne plus composée que la circulaire, c’est chose qu’on peut assés trouuer, de ce qu’ils se reduisent tous à deux constructions ; en l’vne desquelles il faut auoir tout ensemble les deux poins, qui determinent deux moyenes proportionelles entre deux Maire, p. 402
Image haute résolution sur Gallica lignes données ; et en l’autre les deux poins, qui diuisent en trois parties esgales vn arc donné : Car d’autant que la courbure du cercle ne depend, que d’vn simple rapport de toutes ses AT VI, 476
parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussy s’en seruir qu’a determiner vn seul point entre deux extremes, comme à trouuer vne moyenne proportionelle entre deux lignes droites données, ou diuiser en deux vn arc donné : Au lieu que la courbure des sections coniques, dependant tousiours de deux diuerses choses, peut aussy seruir à determiner deux poins differens.
Mais pour cete mesme raison il est impossible, qu’aucun des Problesmes qui sont d’vn degré plus composés que les solides, et qui presupposent l’inuention de quatre moyennes proportionelles, ou la diuision d’vn angle en cinq parties esgales, puissent estre construits par aucune des sections coniques. C’est pourquoy ie croyray faire en cecy tout le mieux qui se puisse, si ie donne vne reigle generale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se descrit par l’intersectiõ d’vne Parabole et d’vne ligne droite en la façon cy dessus expliquée. car i’ose assurer qu’il n’y en a point de plus simple en la nature, qui puisse seruir à ce mesme effect ; Et vous aués vû comme elle suit immediatement les sections coniques, en cete question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doiuent estre receuës en Geometrie.
Façon generale pour construire tous les problesmes reduits à vne Equation qui n’a point plus de six dimẽsions.Vous sçaués desia comment, lorsqu’on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problesmes, on les peut tousiours reduire quelque Equation, qui ne monte que iusques au quarré de cube, ou Maire, p. 403
Image haute résolution sur Gallica au sursolide. Puis vous sçaués aussy comment, en augmentant la valeur des racines de cete Equation, on peut tousiours faire qu’elles deuienent toutes vrayes ; AT VI, 477
et auec cela que la quãtité connuë du troisiesme terme soit plus grande que le quarré de la moitié de celle du second : Et enfin comment, si elle ne monte que iusques au sursolide, on la peut hausser iusques au quarré de cube ; et faire que la place d’aucun de ses termes ne manque d’estre remplie. Or affin que toutes les difficultés, dont il est icy question, puissent estre resoluës par vne mesme reigle, ie desire qu’on face toutes ces choses, et par ce moyen qu’on les reduise tousiours à vne Equation de telle forme, 
$y^6-py^5+qy^4-ry^3+syy-ty+v\ad0$, et en laquelle la quantité nommée $q$ soit plus grande que le quarré de la moitié de celle qui est nommée $p$.
Maire, p. 404
Image haute résolution sur Gallica 
Puis ayant fait ala ligne BK indefiniement longue des deux costés ; et du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit $\frac{1}{2}\,p$ ; il faut dans vn plan separé descrire vne Parabole, comme CDF dont le costé droit principal soit 
$\sqrt{\frac{t}{\sqrt{v}}+q-\frac{1}{4}\,pp}$, que ie nommeray $n$ pour abreger. Aprés cela il faut poser le plan dans lequel est cete Parabole sur celuy où sont les lignes AB AT VI, 478
et BK, en sorte que son aissieu DE se rencontre iustement au dessus de la ligne droite BK : Et ayant pris la partie de cet aissieu, qui est entre les poins E et D, esgale à 
$\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, il faut appliquer sur ce point E vne longue reigle, en telle façon qu’estant aussy appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure tousiours iointe à ces deux poins, pendant qu’on haussera ou baissera la Parabole Maire, p. 405
Image haute résolution sur Gallica tout le long de la ligne BK, sur laquelle son aissieu est appliqué. au moyen de quoy l’intersection de cete Parabole, et de cete reigle, qui se fera au point C, descrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous auons besoin de nous seruir pour la construction du Problesme proposé. Car aprés qu’elle est ainsi descrite, si on prent le point L en la ligne BK, du costé vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu’on face BL esgale à DE, c’est à dire à $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$ ; Puis du point L, vers B, qu’on prene en la mesme ligne BK, la ligne LH, esgale à 
$\frac{t}{2n\sqrt{v}}$ ; et que du point H ainsi trouué, on tire à angles droits, du costé qu’est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longeur soit 
$\frac{r}{2nn}+\frac{\sqrt{v}}{nn}+\frac{pt}{4nn\sqrt{v}}$, qui pour abreger sera nommée 
$\frac{m}{nn}$ : Et aprés, ayant ioint les poins L et I, qu’on descriue le cercle LPI, dont IL soit le diametre ; et qu’on inscriue en ce cercle la ligne LP dont la longeur soit 
$\sqrt{\frac{s+p\sqrt{v}}{nn}}$ : Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouué, qu’on descriue le cercle PCN. Ce cercle couppera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de poins qu’il y aura de racines en l’Equation : En sorte que les perpendiculaires tirées de ces poins sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et AT VI, 479
semblables, seront les racines cherchées. Sans qu’il y ait aucune exception ny aucun deffaut en cete reigle. Car si la quantité $s$ estoit si grande, à proportion des autres $p$, $q$, $r$, 
$t$, et $v$, que la ligne LP se trouuast plus grande que le diametre du cercle Maire, p. 406
Image haute résolution sur Gallica IL, en sorte qu’elle n’y pust estre inscrite, il n’y auroit aucune racine en l’Equation proposée qui ne fust imaginaire : Non plus que si le cercle IP estoit si petit, qu’il ne coupast la courbe ACN en aucun point. Et il la peut couper en six differens, ainsi qu’il peut y auoir six diuerses racines en l’Equation. Mais lorsqu’il la coupe en moins, cela tesmoigne qu’il y a quelques vnes de ces racines qui sont esgales entre elles, ou bien qui ne sont qu’imaginaires. 
Maire, p. 407
Image haute résolution sur Gallica Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouuement d’vne Parabole vous semble incommode, il est aysé de trouuer plusieurs autres moyens pour la descrire. Comme si ayant les mesmes quantités que deuant pour AB et BL ; et la mesme pour BK, qu’on auoit posée pour le costé droit principal de la Parabole ; on descrit le demicercle AT VI, 480
KST dont le centre soit pris à discretion dans la ligne BK, en sorte qu’il couppe quelq; part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, où il finist, on prene vers K la ligne TV, esgale à BL ; puis ayant tiré la ligne SV, qu’on en tire vne autre, qui luy soit parallele, par le point A, comme AC ; et qu’on en tire aussy vne autre par S, qui soit parallele à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux paralleles se rencontrent, sera l’vn de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouuer, en mesme sorte, autant d’autres qu’on en desire.
Maire, p. 408
Image haute résolution sur Gallica Or la demonstration de tout cecy est assés facile. car appliquant la reigle AE auec la Parabole FD sur le point C ; comme il est certain qu’elles peuuent y estre appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est descrite par leur intersection ; si CG se nomme $y$, GD sera 
$\frac{yy}{n}$, à cause que le costé droit, qui est $n$, est à CG, comme CG à GD. Et ostant DE, qui est $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$de GD, on a 
$\frac{yy}{n}-\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, pour GE. Puis à cause que AB est à BE, comme CG est à GE ; AB estant $\frac{1}{2}\,p$, BE est 
$\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$.
Et tout de mesme en supposant que le point C de la courbe a esté trouué par l’intersectiõ des lignes droites, SC parallele à BK, et AC parallele SV. SB qui est esgale à CG, est $y$ : et BK estant esgale au costé droit de la Parabole, que iay nommé $n$, BT est $\frac{yy}{n}$. car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT. Et TV Maire, p. 409
Image haute résolution sur Gallica estant la mesme que BL, c’est à dire $\frac{2\sqrt{v}}{pn}$, BV est $\frac{yy}{n}-\frac{2\sqrt{v}}{pn}$ : et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par consequent $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$ comme deuant, AT VI, 481
d’où on voit que c’est vne mesme ligne courbe qui se descrit en ces deux façons.
Aprés cela, pource que BL et DE sont esgales, DL et BE le sont aussy : de façon qu’adioustãt LH, qui est $\frac{t}{2n\sqrt{v}}$, à DL, qui est $\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}$, on a la toute DH, qui est 
$\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}+\frac{t}{2n\sqrt{v}}$ ; et en ostant GD, qui est $\frac{yy}{n}$ on a GH, qui est 
$\frac{py}{2n}-\frac{\sqrt{v}}{ny}+\frac{t}{2n\sqrt{v}}-\frac{yy}{n}$. Ce que i’escris par ordre en cete sorte GH 
$\!\!\ad\frac{-y^3+\frac{1}{2}\,pyy +\frac{ty}{2\sqrt{v}}-\sqrt{v}}{ny}$.
AT VI, 482
Et le quarré de GH est, 
$\frac{y^6-py^5+\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}+\frac{1}{4}\,pp\Big) y^4+\Big(+2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3}{nnyy}$ $+\frac{+\Big(-p\sqrt{v}+\frac{tt}{4v}\Big)yy-ty+v}{nnyy}$. Et en quelque autre endroit de cete ligne courbe qu’on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouuera tousiours que le quarré de la ligne droite, qui est entre le point H et celuy où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut estre exprimé en ces mesmes termes, et auec les mesmes signes $+$ et $-$.
De plus IH estant $\frac{m}{nn}$, et LH estant $\frac{t}{2n\sqrt{v}}$, IL est 
$\sqrt{\frac{mm}{n^4}+\frac{tt}{4nnv}}$, à cause de l’angle droit IHL ; et LP estãt Maire, p. 410
Image haute résolution sur Gallica 
$\sqrt{\frac{s}{nn}+\frac{p\sqrt{v}}{nn}}$, IP ou IC est, 
$\sqrt{\frac{mm}{n^4}+\frac{tt}{4\,nnv}-\frac{s}{nn}-\frac{p\sqrt{v}}{nn}}$, à cause aussy de l’angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la difference qui est entre IH, et HM ou CG, c’est dire entre $\frac{m}{nn}$ et $y$, en sorte que son quarré est tousiours 
$\frac{mm}{n^4}-\frac{2my}{nn}+yy$, qui estant osté du quarré Maire, p. 411
Image haute résolution sur Gallica de IC, il reste 
$\frac{tt}{4\,nnv}-\frac{s}{nn}-\frac{p\sqrt{v}}{nn} +\frac{2my}{nn}-yy$ pour le quarré de CM, qui est esgal au quarré de GH AT VI, 483
desia trouué. Ou bien en faisant que cete somme soit diuisée comme l’autre par 
$nnyy$, on a 
$\frac{-nny^4+2my^3-p\sqrt{v}\,yy-syy+\frac{tt}{4v}\,yy}{nnyy}$. Puis remettant 
$\frac{t}{\sqrt{v}}\,y^4+qy^4-\frac{1}{4}\,ppy^4$, pour 
$nny^4$ ; et 
$ry^3+2\sqrt{v}\,y^3+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\,y^3$ pour 
$2my^3$ : et multipliant l’vne et l’autre somme par $nnyy$, on a 
$y^6-py^5+\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}+\frac{1}{4}\,pp\Big)y^4 +\Big(2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3+\Big(-p\sqrt{v}+\frac{tt}{4v} \Big)yy-ty+v$ esgal à 
$\Big(-\frac{t}{\sqrt{v}}-q +\frac{1}{4}\,pp\Big)y^4+\Big(r+2\sqrt{v}+\frac{pt}{2\sqrt{v}}\Big)y^3 +\Big(-p\sqrt{v}-s+\frac{tt}{4v})\Big)yy$. C’est à dire qu’on a, $y^6-py^5+qy^4-ry^3+syy-ty+v\ad0$. D’où il paroist que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cete Equation, qui est ce qu’il falloit demonstrer.
L’inuention de quatre moyenes proportionellesAinsi donc si on veut trouuer quatre moyennes proportionelles entre les lignes $a$ et $b$, ayant posé $x$ pour la premiere, l’Equation est 
$x^5****-a^4b\ad0$ ou bien 
$x^6****-a^4bx*\ad0$. AT VI, 484
Et faisant 
$y-a\ad x$ il vient 
$y^6-6ay^5+15aay^4-20a^3y^3+15a^4yy+(-6a^5-a^4b)y+a^6+a^5b\ad0$. C’est pourquoy il faut prendre 
$3a$ pour la ligne AB, et 
$\sqrt{\frac{6a^3+aab}{\sqrt{aa+ab}}+6aa}$ pour BK, ou le costé droit de la Parabole Maire, p. 412
Image haute résolution sur Gallica que iay nommé $n$. Et 
$\frac{a}{3n}\,\sqrt{aa+ab}$ pour DE ou BL. Et aprés auoir descrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire LH 
$\ad\frac{6a^3+aab}{2n\sqrt{aa+ab}}$ et HI 
$\ad\frac{10a^3}{nn}+\frac{aa}{nn}\,\sqrt{aa+ab}+\frac{18a^4+3a^3b} {2nn\sqrt{aa+ab}}$. Et LP 
$\ad\sqrt{\frac{15a^4+6a^3\sqrt{aa+ab}}{nn}}$. Car le cercle qui ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouué, couppera la courbe aux deux poins C et N ; desquels ayant tiré les perdpendiculaires NR et CG, si la moindre, NR, est ostée de la plus grande, CG, le reste sera, $x$, la premiere des quatre moyennes proportionelles cherchées.
Il est aysé en mesme façon de diuiser vn angle en cinq parties esgales, et d’inscrire vne figure d’vnze ou treze costés esgaux dans vn cercle, et de trouuer vne infinité d’autres exemples de cete reigle.
Toutefois il est à remarquer, qu’en plusieurs de ces exemples, il peut arriuer que le cercle couppe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnoistre : et ainsi AT VI, 485
que cete construction ne soit pas commode pour la pratique. À quoy il seroit aysé de remedier en composant d’autres regles, à l’imitation de celle cy, comme on en peut composer de mille sortes.
Mais mon dessein n’est pas de faire vn gros liure, et ie tasche plutost de comprendre beaucoup en peu de mots : comme on iugera peut estre que iay fait, si on considere, qu’ayant reduit à vne mesme construction tous Maire, p. 413
Image haute résolution sur Gallica les Problesmes d’vn mesme genre, iay tout ensemble donné la façon de les reduire à vne infinité d’autres diuerses ; et ainsi de resoudre chascun deuxd’eux en vne infinité de façons. Puis outre cela qu’ayant construit tous ceux qui sont plans, en coupant d’vn cercle vne ligne droite ; et tous ceux qui sont solides, en coupant aussy d’vn cercle vne Parabole ; et enfin tous ceux qui sont d’vn degré plus composés, en coupant tout de mesme d’vn cercle vne ligne qui n’est que d’vn degré plus composée que la Parabole ; il ne faut que suiure la mesme voye pour construire tous ceux qui sont plus composés l’infini. Car en matiere de progressions Mathematiques, lorsqu’on a les deux ou trois premiers termes, il n’est pas malaysé de trouuer les autres. Et i’espere que nos neueux me sçauront gré, non seulement des choses que iay icy expliquées ; mais aussy de celles que iay omises volontairement, affin de leur laisser le plaisir de les inuenter.
FIN.