REGULA XVIII.
Ad hoc quatuor tantum operationes requiruntur, additio, substractio, multiplicatio, et divisio ; ex quibus duae ultimae saepe hic non sunt absolvendae, tum ne quid temere involvatur, tum quia facilius postea perfici possunt.

Multitudo regularum saepe ex Doctoris imperitia procedit, et quae ad unicum generale praeceptum possent reduci, minus perspicua sunt si in multa particularia dividantur. Quamobrem hic nos operationes omnes, quibus utendum est in quaestionibus percurrendis, id est, in quibusdam magnitudinibus ex aliis deducendis, ad quatuor tantum capita redigimus ; quae quomodo sufficiant, ex ipsorum explicatione cognoscetur.

AT X, 462 Nempe si ad unius magnitudinis cognitionem perveniamus, ex eo quod habemus partes ex quibus componitur, id fit per additionem ; si agnoscamus partem ex eo quod habemus totum, et excessum totius supra eamdem partem, hoc fit per substractionem ; neque pluribus modis aliqua magnitudo ex aliis absolute sumptis, et in quibus aliquo modo contineatur, potest deduci. Si vero aliqua invenienda sit ex aliis a quibus sit plane diversa, et in quibus nullo modo contineatur, necesse est ut ad illas aliqua ratione referatur : atque haec relatio sive habitudo si sit directe persequenda, tunc utendum est multiplicatione ; si indirecte, divisione.

Quae duo ut clare exponantur, sciendum est unitatem, de qua jam sumus locuti, hic esse basim et fundamentum omnium relationum, atque in serie magnitudinum continue proportionalium primum gradum obtinere, datas autem magnitudines in secundo gradu contineri, et in tertio, quarto, et reliquis quaesitas, si proportio sit directa ; si vero indirecta, quaesitam in secundo et aliis intermediis gradibus contineri, et datam in ultimo.

AT X, 463 Nam si dicatur, ut unitas ad a vel ad 5 datam, ita b sive 7 data ad quaesitam, quae est ab vel 35, tunc a et b sunt in secundo gradu, et ab, quae producitur ex illis, in tertio. Item si addatur, ut unitas ad c vel 9, ita ab vel 35 ad quaesitam abc vel 315, tunc abc est in quarto gradu, et generatur per duas multiplicationes ex ab et c, quae sunt in secundo gradu, et sic de reliquis. Item, ut unitas ad a <vel> 5, ita a <vel> 5 ad a2 sive 25 ; et rursum, ut unitas ad <a vel> 5, ita a2 vel 25 ad a3 vel 125 ; et denique, ut unitas ad a <vel> 5, sic a3 vel 125 ad a4 quod est 625, etc. : neque enim aliter fit multiplicatio, si eadem magnitudo ducatur per se ipsam, quam si per aliam plane diversam duceretur.

Jam vero si dicatur, ut unitas ad a vel 5 datum divisorem, ita B vel 7 quaesita ad ab vel 35 datum dividendum, tunc est ordo turbatus et indirectus : quapropter B quaesita non habetur, nisi dividendo ab datam per a etiam datam. Item, si dicatur, ut unitas ad A vel 5 quaesitam, ita A vel 5 quaesita ad a2 vel 25 datam ; sive, ut unitas ad A <vel> 5 quaesitam, sic A2 vel 25 quaesita ad a3 vel 125 datam ; et sic de caeteris. Haec omnia complectimur sub nomine divisionis, quamvis notandum sit has posteriores hujus species majorem continere difficultatem quam priores, quia saepius in illis reperitur magnitudo quaesita, quae proinde plures relationes involvit. Idem enim est horum exemplorum sensus, ac si diceretur extrahendam esse radicem quadratam AT X, 464 ex a2 sive ex 25, vel cubicam ex a3 sive ex 125, et sic de caeteris ; qui mos loquendi est apud Logistas usitatus. Vel ut etiam Geometrarum terminis illas explicemus, idem est ac si diceretur inveniendam esse mediam proportionalem inter magnitudinem illam assumptitiam, quam unitatem vocamus, et illam quae designatur per a2, vel duas medias proportionales inter unitatem et a3, et ita de aliis.

Ex quibus facile colligitur, quomodo hae duae operationes sufficiant ad magnitudines quascumque inveniendas, quae propter aliquam relationem ex aliis sint deducendae. Atque his intellectis, sequitur ut exponamus quomodo hae operationes ad imaginationis examen sint revocandae, et quomodo etiam ipsis oculis exhibendae, ut tandem postea illarum usum sive praxim explicemus.

Si additio vel substractio faciendae sint, concipimus subjectum sub ratione lineae, sive sub ratione magnitudinis extensae, in qua sola longitudo est spectanda : nam si addenda sit linea a ad lineam b, unam alteri adjungimus hoc modo ab, et producitur c.

AT X, 465 Si autem minor ex majori tollenda sit, nempe b ex a, unam supra aliam applicamus hoc modo, et ita habetur illa pars majoris quae a minori tegi non potest, nempe, c .

In multiplicatione concipimus etiam magnitudines datas sub ratione linearum ; sed ex illis rectangulum fieri imaginamur : nam si multiplicemus a per b, unam alteri aptamus ad angulos rectos hoc modo, et fit rectangulum

AT X, 466 Iterum, si velimus multiplicare ab per c, oportet concipere ab ut lineam, nempe ab, ut fiat pro abc :

Denique in divisione, in qua divisor est datus, magnitudinem dividendam imaginamur esse rectangulum, cujus unum latus est divisor, et aliud est quotiens : ut si rectangulum ab dividendum sit per a, tollitur ab illo latitudoa, et remanet b, pro quotiente : AT X, 467 vel contra, si idem dividatur per b, tolletur altitudob, et quotiens erit a,

In illis autem divisionibus, in quibus divisor non est datus, sed tantum per aliquam relationem designatus, ut cum dicitur extrahendam esse radicem quadratam vel cubicam etc., tunc notandum est, terminum dividendum et alios omnes semper concipiendos esse ut lineas in serie continue proportionalium existentes, quarum prima est unitas, et ultima est magnitudo dividenda. Quomodo autem inter hanc et unitatem quotcumque mediae proportionales inveniendae sint, dicetur suo loco ; et jam monuisse sufficiat, nos supponere tales operationes hic nondum absolvi, cum per motus imaginationis indirectos et reflexos faciendae sint ; et nunc agimus tantum de quaestionibus directe percurrendis.

Quod attinet ad alias operationes, facillime quidem absolvi possunt eo modo, quo illas concipiendas esse diximus. Superest tamen exponendum, quomodo illarum termini sint praeparandi ; nam etiamsi, cum primum versamur circa aliquam difficultatem, nobis liberum sit ejus terminos concipere ut lineas, vel ut rectangula, nec alias unquam figuras illis tribuamus, ut dictum est ad regulam decimam quartam, frequenter tamen in discursu rectangulum, postquam ex duarum AT X, 468 linearum multiplicatione fuit productum, mox concipiendum est ut linea, ad aliam operationem faciendum ; vel idem rectangulum, aut linea ex aliqua additione aut substractione producta mox concipienda est ut aliud quoddam rectangulum supra lineam designatam, per quam est dividendum.

Est igitur operae pretium hic exponere, quomodo omne rectangulum possit in lineam transformari, et vicissim linea aut etiam rectangulum in aliud rectangulum, cujus latus sit designatum ; quod facillimum est Geometris, modo animadvertant per lineas, quoties illas cum aliquo rectangulo comparamus, ut hoc in loco, nos semper concipere rectangula, quorum unum latus est longitudo illa quam pro unitate assumpsimus. Ita enim totum hoc negotium ad talem propositionem reducitur : dato rectangulo, aliud aequale construere supra datum latus.

Quod etiamsi vel Geometrarum pueris sit tritum, placet tamen exponere, ne quid videar omisisse.