MON REVEREND PERE,
Ie vous prie d’abord de m’excuser de ce que le paquet est un peu gros ; n’estoit que M. Zuitlichem est à l’armée, i’aurois tâché de vous l’envoyer par luy, mais ie me promets que voyant comme i’ay eu soin d’employer tout mon papier, vous n’en plaindrez pas tant le port. Vous y trouverez le reste de l’Introduction à ma Geometrie, que ie vous avois envoyé cy-devant ; ce reste ne contient que cinq ou six exemples, l’un desquels est ce lieu Plan dont M. N. a tant fait de bruit : Et le dernier est, ayant quatre Globes donnez en trouver un cinquiesme, qui les touche, duquel ie ne croy pas que vos Analistes de Paris puissent venir à bout, et vous leur pourrez proposer, si bon vous semble, AT II, 247
mais non pas s’il vous plaist comme de moy ; car ie me contente de parer, et ie ne veux point me mettre en posture pour les combattre. Vous y trouverez aussi ma réponse aux objections de M. Morin, car n’ayant pas dessein de les faire si-tost imprimer, i’ay pensé que ie la luy devois envoyer : Vous la couvrirez s’il vous plaist d’un beau papier pour la bien-seance, et le cacheterez avant de luy donner ; et s’il s’apperçoit que la superscription ne sera pas de ma main, on pourra dire que ie l’ay obmise, faute de sçavoir ses qualitez ; mais en effet c’est afin que ce paquet soit d’autant moins gros. Ie vous envoye aussi mon sentiment touchant la question de la Geostatique ; et ie vous diray que regardant par hazard ces jours passez en la Statique de Stevin, i’y ay trouvé le centre de gravité du Conoïde Parabolique, lequel vous m’aviez mandé cy-devant vous avoir esté envoyé par M. N. ce qui Clerselier II, 386
me fait etonner, que luy qui est sans doute plus curieux que moy de voir les livres, vous l’eust envoyé comme sien, vû mesme que Stevin le cite de Commandin. Mais pour ce que c’est aussi le mesme que ie vous fis dernierement envoyer par Gillot, afin qu’on ne pense pas tout de mesme, que ce fust par faute d’en pouvoir AT II, 248
envoyer d’autres, ie mettray icy tous ceux des lignes composées à l’imitation de la Parabole, qu’il dit avoir trouvez ; mais à condition s’il vous plaist que vous ne luy direz, qu’à mesure qu’il vous dira aussi en quelle façon il les a trouvez ; car ie juge qu’il n’est pas lui mesme encore trop seur de sa regle, et qu’il ne s’en ose servir, qu’à trouver les choses qu’il sçait desia d’ailleurs estre trouvées. Soit donc ABC une ligne courbe, de 
telle nature que les Segmens de son Diametre, ayent entr’eux mesme proportion, que les cubes des lignes appliquées par ordre à ces Segmens, et que BD soit l’essieu, ou le Diametre de la figure comprise par cette ligne courbe ABC, et la droite AC. On divise ce diametre BD, par le point M, en telle façon que la ligne BM soit à la ligne MD, comme quatre à trois, le poinct M, sera le centre de gravité de cette figure. Et en la courbe ou les segmens des diametres sont entre eux, comme les quarrez de quarrez des ordonnées ; Il faut faire BM, à MD ; comme 5. à 4. ; en la suivante, où ces segmens sont comme les sursolides des ordonnées, il faut faire BM, à MD, comme 6. à 5. et comme 7. à 6. en celle ou ces segmens sont comme les quarrez de cube des ordonnées, et comme 8. à 7. en la suivante, et ainsi à l’infiny, pour avoir leurs centres de gravité. Outre cela supposant que BD, tombe sur AC, à angles droits, et que ABC, est un Conoïde Clerselier II, 387
décrit par la ligne courbe AB, où BC, muë circulairement AT II, 249
de l’essieu BD, en sorte qu’AC, la base de ce Conoïde, est un cercle : Pour trouver le centre de gravité de ce Cors ABCD, si la ligne ABC, est celle où les segmens du Diametre sont comme les cubes des ordonnées, il faut faire BM, à MD, comme 5. à 3. si c’est la suivante il faut le faire comme 6. à 4. si l’autre suivante, comme 7. à 5. si l’autre, comme 8. à 6. et ainsi à l’infiny. De plus, pour trouver les Aires de ces figures, en la premiere de ces lignes courbes, la superficie comprise dans cette courbe, et la ligne droite AC, est au triangle inscrit ABC, comme 6. à 4. et comme 8. à 5. en la seconde, et comme 10. à 6. en la troisiéme, et comme 12. à 7. en la quatriéme ; et ainsi à l’infiny : Et si ABC est le premier Conoïde, c’est à dire celuy qui est décrit par la premiere de ces lignes, il est au Cone inscrit comme 9. à 5. si c’est le second, il est comme 12. à 6. si c’est le troisiéme, comme 15. à 7. si le quatriéme, comme 18. à 8. si le cinquiesme, comme 21. à 9. et ainsi à l’infiny. Et enfin pour trouver leurs Tangentes en la premiere de ces courbes, si elle est touchée au poinct C, par la ligne droite CE, BE sera double de BD ; et triple de la mesme BD en la seconde, et quadruple en la troisiéme, et quintuple en la quatriéme, et ainsi à l’infiny. Ie ne mets point les demonstrations de tout cecy, car ce seroit trop de peine de les écrire, et c’est assez en telles matieres que d’en donner le fait, pour ce qu’il ne peut estre trouvé que par ceux qui en sçavent aussi les demonstrations. Mais vous remarquerez cependant, s’il vous plaist, par la facilité de AT II, 250
ces solutions, qu’elles ne meritent pas qu’on en fasse un si grand bruit.
I’en estois parvenu iusques icy lors que i’ay receu vostre derniere avec l’enclose de M F. à laquelle ie ne manqueray de répondre à la premiere occasion ; et ie serois plus marry qu’il m’eust passé en courtoisie qu’en science. Mais pour ce que vous me mandez qu’il m’a encore écrit une autre Lettre pour la deffense de sa regle, et que vous ne me l’avez point envoyée, i’attendray que ie l’aye receuë, afin de Clerselier II, 388
pouvoir répondre tout ensemble à l’une et à l’autre. Et entre nous, ie suis bien aise de luy donner cependant le loisir de chercher cette Tangente, qu’il a promis de vous envoyer, au cas que ie continuasse à croire qu’elle ne se peut trouver par sa regle.
Pour la façon dont ie me sers à trouver les parties Aliquotes, ie vous diray que ce n’est autre chose que mon Analise, laquelle i’applique à ce genre de questions, ainsi qu’aux autres ; et il me faudroit du temps pour l’expliquer en forme d’une regle, qui pust estre entenduë par ceux qui usent d’une autre methode. Mais i’ay pensé que si ie mettois icy une demi douzaine de nombres, dont les parties aliquotes fissent le triple, vous n’en feriez peut-estre pas moins d’estat, que si ie vous envoyois une regle pour les trouver : C’est pourquoy ie les ay cherchez, et les voicy.
30240. dont les parties sont 90720.
32760. dont les parties sont 98280.
23569920. dont les parties sont 70709760.
142990848. dont les parties sont 428972544.
AT II, 251
66433720320. 199301160960.
403031236608. 1209093709824.
I’en adjouste icy encore un autre dont les parties aliquotes font le quadruple, à sçavoir
14182439040. dont les parties sont 56729756160.
Ie mets les nombres et leurs parties, afin que s’il se glissoit quelque erreur de plume, on pust corriger l’un par l’autre.
Et on peut trouver des nombres en toute autre proportion multiple, fust-ce de ceux dont les parties aliquotes font le centuple ; mais les nombres deviennent si grands, que ce seroit un travail trop annuyeux que de les calculer.
Au reste ie suis extremement aise, de ce que ma réponse aux questions de M. de sainte Croix ne luy a pas esté desagreable, c’est un témoignage de sa franchise, et de sa courtoisie, de se vouloir contenter de si peu de chose. Car bien Clerselier II, 389
que j’aye fait tout mon mieux sur ces questions, ie ne me vante pas toutesfois d’y avoir entierement satisfait ; et les deux dernieres m’ont semblé trop faciles, au sens que ie les ay prises, pour estre venuës de Monsieur de sainte Croix ; ce qui me fait croire, qu’il les entend en quelqu’autre sens, lequel ie n’ay pas sceu deviner.
Puis en la derniere, au lieu d’y donner un nombre qui y satisfasse, selon le principal sens, ie donne une regle pour les trouver, qui bien qu’elle soit vraye, et qu’elle contienne tous ceux qui peuvent estre trouvez, AT II, 252
elle a neantmoins ce deffaut, qu’on doit examiner par ordre tous les nombres trigones, nonobstant qu’il n’y en ait que fort peu qui servent à soudre la question. Ie suis,