MADAME,
La solution qu’il a plû à Vostre Altesse me faire l’honneur de m’envoyer est si iuste, qu’il ne s’y peut AT IV, 46
rien desirer davantage ; Et ie n’ay pas seulement esté surpris d’estonnement en la voyant, mais ie ne puis m’abstenir d’adjoûter que i’ay esté aussi ravy de joye, et ay pris de la vanité de voir que le calcul dont se sert Vostre Altesse est entierement semblable à celuy que i’ay proposé dans ma Geometrie. L’experience m’avoit fait connoistre, que la pluspart des esprits qui ont de la facilité à entendre les raisonnemens de la Metaphysique, ne peuvent pas concevoir ceux de l’Algebre, et reciproquement que ceux qui comprennent aisément ceux-cy sont d’ordinaire incapables des autres ; Et ie ne voy que celuy de Vostre Altesse auquel toutes choses sont également faciles ; Il est vray que i’en avois desia tant de preuves que ie n’en pouvois aucunement douter : Mais ie craignois seulement que la patience qui est necessaire pour surmonter au commencement les difficultez du calcul ne luy manquast. Car c’est une qualité qui est extremement rare aux excellens Clerselier III, 466
Esprits, et aux personnes de grande condition. Maintenant que cette difficulté est surmontée, elle aura beaucoup plus de plaisir au reste, et en substituant une seule lettre au lieu de plusieurs, ainsi qu’elle a fait icy fort souvent, le calcul ne luy sera pas ennuyeux. C’est une chose qu’on peut quasi tousiours faire, lors qu’on veut seulement voir de quelle nature est une question, c’est à dire, si elle se peut soudre avec la regle et le compas, ou s’il y faut employer quelques autres lignes courbes du premier ou du 2. genre, etc. et quel est le chemin pour la trouver ; qui est ce dequoy ie me contente ordinairement touchant les AT IV, 47
questions particulieres ; Car il me semble que le surplus qui consiste à chercher la construction et la demonstration par les propositions d’Euclide, en cachant le proceder de l’Algebre, n’est qu’un amusement pour les petits Geometres, qui ne requiert pas beaucoup d’esprit ny de science ; Mais lors qu’on a quelque question qu’on veut achever pour en faire un Theoreme, qui serve de regle generale pour en soudre plusieurs autres semblables, il est besoin de retenir iusques à la fin toutes les mesmes lettres qu’on a posées au commencement ; ou bien si on en change quelques-unes pour faciliter le calcul, il les faut remettre par apres estant à la fin, à cause qu’ordinairement plusieurs s’effacent l’une contre l’autre, ce qui ne se peut voir lors qu’on les a changées. Il est bon aussi alors d’observer que les quantitez qu’on denomme par les lettres ayent semblable rapport les unes aux autres le plus qu’il est possible ; cela rend le Theoreme plus beau et plus court, pour ce que ce qui s’enonce de l’une de ces quantitez, s’enonce en mesme façon des autres, et empesche qu’on ne puisse faillir au calcul ; pour ce que les lettres qui signifient des quantitez qui ont mesme rapport, s’y doivent trouver distribuées en mesme façon, et quand cela manque, on reconnoist son erreur. Ainsi pour trouver un Theoreme qui enseigne quel est le rayon du cercle, qui touche les trois donnez par position, il ne faudroit pas en cét exemple poser les trois lettres a, b, c, pour les lignes AD, DC, DB. Clerselier III, 467
Mais pour les lignes AB, AD, et BC, pour ce que ces dernieres ont mesme rapport l’une que l’autre aux AT IV, 48
trois AH, BH, et CH, ce que n’ont pas les premieres ; Et en suivant le calcul avec ces six lettres, sans les changer ny en adjoûter d’autres, par le chemin qu’a pris Vostre Altesse (car il est meilleur pour cela que celuy que i’avois proposé) on doit venir à une équation fort reguliere, et qui fournira un Theoreme assez court. Car les trois lettres a, b, c, y sont disposées en mesme façon, et aussi les trois d, e, f ; Mais pour ce que le calcul en est ennuyeux, si Vostre Altesse a desir d’en faire l’essay, il luy sera plus aisé en supposant que les trois cercles donnez s’entretouchent, et n’employant en tout le calcul que les quatre lettres d, e, f, x, qui estant les rayons des quatre cercles, ont semblable rapport l’une à l’autre ; Et, en premier lieu, elle trouvera 
et 
Où elle peut desia remarquer que x est dans la ligne AK, comme e dans la ligne AD, pour ce qu’elle se AT IV, 49
trouve par le triangle AHC, comme l’autre par le triangle ABC ; puis enfin elle aura cette équation 
De laquelle on tire pour Theoreme que les quatre sommes, qui se produisent en multipliant ensemble les quarrez Clerselier III, 468
de trois de ces rayons, font le double de six, qui se produisent en multipliant deux de ces rayons l’un par l’autre, et par les quarrez des deux autres ; ce qui suffit pour servir de regle à trouver le rayon du plus grand cercle qui puisse estre décrit entre les trois donnez qui s’entretouchent ; Car si les rayons de ces trois donnez sont par exemple 
i’auray 576 pour ddeeff, et 36 xx pour ddeexx, et ainsi des autres ; d’où ie trouveray 
, si ie ne me suis trompé au calcul que ie viens de faire ; Et Vostre Altesse peut voir icy deux procedures fort differentes dans une mesme question, selon les differens desseins qu’on se propose ; Car voulant sçavoir de quelle nature est la question, et par quel biais on la peut soudre, ie prens pour données les lignes perpendiculaires ou paralleles, et suppose plusieurs autres quantitez inconnuës, afin de ne faire aucune multiplication superfluë, et voir mieux les plus courts chemins ; au lieu que la voulant achever, ie prens AT IV, 50
pour donnez les costez du triangle, et ne suppose qu’une lettre inconnuë ; Mais il y a quantité de questions, où le mesme chemin conduit à l’un et à l’autre, et ie ne doute point que Vostre Altesse ne voye bien-tost iusques où peut atteindre l’esprit humain dans cette science ; Ie m’estimerois extremement heureux, si i’y pouvois contribuer quelque chose, comme estant porté d’un zele tres-particulier à estre,
MADAME,
De V. A.
Le tres-humble et tres-obeïssant serviteur, DESCARTES.