LETTRE LXXXII.

AT II, 575 MONSIEUR,
Ie n’ay pas examiné soigneusement ce que vous me mandez des Notes de Monsieur de Beaune, pour ce que ie ne croy pas qu’il en soit besoin, ny qu’il ait manqué dans son calcul ; Mais ie me persuade que tout ce qui vous donne de la difficulté, vient de ce qu’il nomme l’axe de l’hyperbole dans une figure la ligne AY, et dans l’autre la ligne AN, qui est la mesme, ce qui est veritablement contre l’usage, et qui toutesfois se peut excuser. Car comme dans l’hyperbole, et aux autres sections coniques, lors qu’elles sont connuës, on nomme leur axe la ligne qui rencontre a angles droits les appliquées par ordre ; Ainsi dans cette ligne courbe, qu’il ne considere pas encore comme une hyperbole, mais comme une courbe dont il cherche la nature, il a pû appeller son axe la ligne AN ou AY, pour ce qu’il y applique par ordre des lignes LM et YX, qui la rencontrent à angles droits. Et cela n’empesche pas que par apres, lors qu’il reconnoist que cette ligne courbe est une hyperbole, dont AL est un diametre, auquel XL est appliquée par ordre, il n’ait raison de dire que AM est son costé traversant, au regard de ce diametre AL ; Car vous sçavez qu’en une mesme hyperbole, il y a autant de divers costez traversans que de diametres.

AT II, 576 Pour la remarque de N. elle est impertinente, encore qu’elle ne soit pas tout à fait fausse. Car on sçait bien que les mesmes lignes droites estant posées, et la question n’estant point changée, le lieu ne peut pas estre tout ensemble au cercle et à l’hyperbole. Et il ne faut pas aussi avoir grande Clerselier III, 470 science pour connoistre que la ligne courbe doit passer en cét exemple par les quatre intersections qu’il remarque : Car dans la figure de la page 325. on voit à l’œil, que puisque CB multipliée par CF doit produire une somme égale à CD, multipliée par CH, le point C se rencontre necessairement aux quatre intersections susdites ; à sçavoir, en l’intersection A, pour ce qu’alors les lignes BC et CD sont nulles, et par consequent estant multipliées par les deux autres, elles composent deux riens, qui sont égaux entr’eux. Tout de mesme en l’intersection G, les lignes CH et CB sont nulles ; et ainsi en l’une des deux autres intersections, qui ne sont pas marquées dans la figure, CD et CF, et dans l’autre CH et CF, sont nulles. Mais on peut changer la question, en sorte que le mesme n’arrive point ; et cela n’empesche pas que voulant user de brieveté, et rapporter tous les cas à un seul exemple, comme i’ay fait, (à sçavoir, ie les ay tous rapportez à l’exemple proposé dans la figure de la page 311.) ie n’aye eu raison, apres avoir donné le vray lieu de cét exemple, qui est un cercle, d’y appliquer aussi l’hyperbole, afin que toutes les lettres IKLBCD, etc. s’y trouvant aux mesmes lieux qu’auparavant, on pust entendre le peu que i’en voulois dire, plus facilement qu’on n’eust fait, si la figure eust esté changée. Il me semble donc que vous ne devez AT II, 577 point y mettre d’autre figure ; Car il faudroit aussi changer le discours, et la solution en seroit plus embroüillée. Mais vous pourrez mettre cét advertissement dans la page 331. ou quelqu’autre semblable.

Notandum hic applicatam esse hyperbolam, ei positioni linearum, cui solum circulum quadrare paulo post ostendetur, quod perspicuitatis, et simul brevitatis studio factum ; faciliùs enim est quæ hic scripta sunt intelligere, cum notæ ABCD, etc. in iisdem omnium figurarum locis reperiuntur, quam si nunc in uno, nunc in alio essent quærendæ. Nec etiam hinc sequitur ullus error, tota enim quæstio nondum est determinata, sed in pagina 333. demum determinatur ; potestque fieri paucis, ex ea mutatis, ut eidem positioni linearum, cui competit circulus, Clerselier III, 471 quadret hyperbola, et quidem hyperbola quæ non transeat per ullas intersectiones datarum linearum, quemadmodum hic representatur : Ut exempli causa si rectangulum ex FC, in CD debeat esse majus, quam rectangulum ex CB, in CH, quadum data quantitate, vel quid simile. Eiusdem brevitatis studio, nulla etiam hic mentio sit oppositarum hyperbolarum, non quod ab authore ignorentur, ut-pote qui paulo post in pagina 336. quatuor lineas hyperbolæ affines inter se oppositas, exposuit. Sed notandum est illum faciliora ferè semper in hac Geometria neglexisse, nihil autem ex difficilioribus, inter ea quæ tractanda suscepit, omisisse. Atque idcirco ipsum maluisse hic exhibere positionem linearum, cui quadrat circulus, quam alias, quibus quadrent ellypses aut hyperbolæ, quia eius inventio peculiarem habet difficultatem.

Pour l’annotation de Monsieur Haestrech à la page 378. elle ne me semble pas assez claire, mais AT II, 578 vous la pourriez mettre en cette sorte : Notandum est nos uti posse hoc exemplo tanquam regula vel canone ad quantitatem, qua radices augendæ sunt, inveniendam. Si enim proposita sit, exempli causa hæc æquatio.

Neglectis omnibus iis terminis in quibus notæ + et – aliæ sunt quam in canone ; nempe hic neglectis terminis b, c et F, oportet tantum considerare omnes alios ut a, d et e, quia hic habetur + Ax5, ut in canone +Nx5 et -dxx, ut in canone -216n4xx, et +ex, ut in canone -1296n5x. Oportet autem singulos ex his terminis considerare seorsim, et quærere quantitatem n, quae non sit minor quam a, quia in canone habetur n, ubi in datâ æquatione est a. Item cuius quadratæ quadratum non sit minus quam , quia in canone habetur 216n4, ubi in datâ æquatione est d ; Item denique cuius supersolidum (vel ut Vieta nominat quadrato cubus) non sit minus quam , quia in canone habetur 1296n5 ubi in datâ æquatione est e. Quantitate n ita inventâ, manifestè demonstratur ex ipsa operatione, faciendo , prodire æquationem in quâ nulla radix falsa esse potest ; Hocque authoritamauthori tam facilè Clerselier III, 472 visum est, ut fusiùs explicare neglexerit. Au reste, i’ay veu depuis peu une affiche du sieur S. qui contient trois questions proposées à sa façon ordinaire, il y auroit bien moyen de le confondre, s’il meritoit qu’on en prist la peine, mais il ne le merite pas.
Ie suis,