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MON REVEREND PERE,
I’ay receu quatre pacquets de vostre part depuis huit ou dix iours, sans avoir toutesfois receu qu’une de vos Lettres ; Car le premier ne contenoit que les Livres de Monsieur Morin, de Monsieur Hardy, et les Theses du Pere Bourdin. Le second que la Perspective curieuse, et le Livre de Monsieur Laleu. Le troisiéme que des Lettres de Bretaigne. Mais enfin dans le quatriéme i’ay trouvé vostre Lettre, avec une autre de Monsieur de Beaune, et une autre encore que Monsieur de Bessy vous a écrite. Ie répondray icy par ordre aux articles de la vostre. Ce que i’ay dit aux pages 175. et 179. de la pesanteur, et de l’origine des fontaines est fort peu de chose, au regard de ce qui s’en peut dire, et vous verrez quelque chose de la pesanteur dans ma Réponse à Monsieur de Beaune.
I’admire que vous n’ayez pû faire geler de l’eau avec du sel et de la glace ; Car l’experience en est si aisée, qu’il est presque impossible de la mal faire ; et ie l’ay faite plus de cent fois ; il est vray qu’il faut assez bonne quantité de neige ou de glace pilée, mais la neige y est meilleure, à cause qu’elle se mesle mieux avec le sel, qui doit estre aussi en assez bonne quantité, environ le tiers ou le quart de la neige ; et il faut AT II, 531
ensevelir le vase où est l’eau douce dans cette miction, et l’y laisser iusqu’à ce qu’elle soit quasi toute fonduë ; Car à mesure que la neige se fond l’eau se glace, et cela se peut faire en toute saison ; mais l’Esté il faut que ce soit dans une cave, afin que la chaleur de l’air ne fasse point trop tost fondre la neige.
Clerselier III, 481
Ce qui empesche la lumiere de penetrer iusques au fond de la mer, ou au travers d’un verre fort épais, n’est pas l’eau ou le verre entant que Diaphanes ; mais ce sont des impuretez qui y sont meslées, et qui ne sont point Diaphanes.
Si vous ne mettez pas plus de sel dans de l’eau douce qu’il s’en peut tirer de pareille quantité d’eau de mer, ie m’assure qu’elle ne deviendra point plus pesante que celle de mer ; mais toute la mer n’est pas également salée ; Car aux emboucheures des rivieres, aux rivages, et vers les poles, elle l’est beaucoup moins qu’ailleurs.
Les tangentes de deux lignes courbes de diverse espece ne peuvent avoir les mesmes proprietez specifiques, telles que sont celles que vous marquez de la parabole et de l’ellipse ; Mais il y a des proprietez Geometriques qui peuvent convenir à plusieurs, et mesme à plusieurs de divers genres. Comme 
si AD est la tangente de la courbe ED et DC perpendiculaire sur AC, et qu’il faille seulement que AE soit à EC, comme nombre à nombre, on peut trouver des courbes d’un infinité de divers genres, qui auront cette proprieté. AT II, 532
Pour celuy de vos Geometres qui fait le fin sur ce sujet, il a monstré touchant les lignes de Monsieur de Beaune qu’il estoit du nombre de ceux qui sçavent le moins ce qui en est ; Car il maintenoit que les proprietez des tangentes données ne suffisoient pas pour les determiner ; Et cela mesme, qu’il dit en avoir la demonstration, mais qu’il ne la dira qu’à bonnes enseignes, est un témoignage qu’il l’ignore ; Car c’est chose si claire et si aisée pour ceux qui la sçavent, que cela ne merite rien moins que d’estre caché comme un mystere.
Il faut que ie rie de ce que vous m’avez desia envoyé cinq ou six fois la façon pour trouver la tangente de la Roulette, tousiours differemment, et tousiours avec faute, ce qui ne sçauroit venir de vostre plume ; Car vous avez pris la peine de m’envoyer Copie de plusieurs autres choses de Geometrie qui estoient bien, et vous avez expressément pris garde Clerselier III, 482
à cette derniere, où la faute est qu’ayant tiré G I perpendiculaire 
sur l’axe CD et EF, qui touche le cercle au point E, il dit que si le cercle est égal à la ligne AB, EF doit estre prise égale à GI, et que GF sera la tangente cherchée, ce qui est tres-faux ; Car il faut prendre EF égale à GE, et lors cette construction ne differe point de la mienne, et ie croy qu’il pensoit traitter avec des AT II, 533
gruës, de vouloir par là persuader qu’il a trouvé cette tangente ; ie dis mesme en supposant qu’il n’y ait point de faute dans sa construction, et qu’il ait fait EF égale à GE ; Car il devoit monstrer outre cela le medium qui l’a conduit à cette construction, ainsi que ie vous ay desia mandé il y a long-temps, et qu’il fust different de ceux qui luy ont esté envoyez, ou plustost se taire ; Car enfin cela mesme, qu’il vous a donné cinq ou six fois sa pretenduë construction pour m’envoyer, sans que ie l’aye iamais demandée, me fait iuger qu’il affecte de faire croire une chose qui n’est pas vraye.
Ie croy que vous faites trop d’honneur au sieur N. de luy contredire, il faut laisser aboyer les petits chiens sans prendre la peine de leur resister, et ie m’assure qu’il est plus fasché de ce que ie n’ay pas daigné luy répondre, que si ie luy avois dit tout le mal que i’eusse pû, bien que il m’en ait donné une ample matiere. Vous vous estes fort bien avisé de vouloir envoyer son traitté contre ma Dioptrique à Monsieur de Beaune plustost qu’à moy ; Car ie m’assure que par ce moyen il ne sera point de besoin que ie le voye, et ie reconnois tant de capacité et de franchise en M. de Beaune, que ie suis prest de souscrire dés à present à tout ce qu’il en iugera.
Il est vray-semblable que l’Arbaleste du Padre Benedetto AT II, 534
Clerselier III, 483
est aussi excellente que la Lancette de Naples ; car l’une et l’autre viennent d’Italie.
Vous verrez en ma Réponse à Monsieur de Beaune pourquoy ie ne croy que les corps pesans augmentent également leur vitesse en descendant.
Sa raison pourquoy il faut une force quadruple pour faire monter une corde à l’octave est tres-excellente, et voicy comme elle s’entend. Que les cordes ABC et EFG soient en tout égales, sinon que ABC soit plus tenduë que EFG ; en sorte qu’elle ait un son plus aigu d’une octave, et qu’elles 
soient également éloignées de leur direction, c’est à dire, que BD et F H soient égales, il est certain qu’il ne faut ny plus ny moins de forces et de temps, en comptant l’un avec l’autre, pour faire que ABC revienne iusques à D, que pour faire que EFG revienne iusques à H ; C’est à dire, que si ABC a plus de force il luy faudra moins de temps à proportion ; Car toutes les autres choses estant égales, cette inégalité de la force ne peut estre recompensée que par celle du temps. Il est certain aussi que puisque ABC fait l’octave au dessus de EFG, elle n’employe que la moitié dautant de temps à passer de B à D, que EFG à passer de F à H ; si bien qu’il AT II, 535
ne reste plus qu’à sçavoir sinon combien la force qui la meut doit estre plus grande que celle qui meut l’autre, afin que cette force et ce temps comptez ensemble fassent en toutes deux la mesme somme. Or pour ce que la force agit tousiours également (au moins à peu près, et on ne considere point icy ce qui s’en faut) et que l’impression qu’elle fait à chaque moment, demeure iusques à la fin du mouvement, on peut representer le temps par une ligne, comme KL ou KN, et la force par une autre, comme NO Clerselier III, 484
ou LM ou N P ; en sorte que l’un et l’autre ensemble soit representé par le triangle KNO ou KLM ou KNP ; A sçavoir, puisque ABC n’employe que la moitié dautant de temps à aller de B à D, que fait EFG à aller de F à H, il represente le temps de ABC par KL prise à discretion, 
et celuy de EFG par KN, qu’il fait double de K L, puis il represente la force de EFG par NO, prise derechef à discretion, et celle de ABC par NP en un temps égal, et par LM en un temps de la moitié moindre, et cette LM doit estre telle (suivant ce qui a esté posé) que le triangle KLM soit égal au triangle KNO, mais à cét effet LM doit estre double de NO, et en suitte N P doit estre quadruple de NO ; donc la force qui meut ABC doit aussi estre quadruple de celle qui meut EFG ; car lors qu’elles sont considerées en elles-mesmes, et sans avoir égard à aucun temps, elles ont mesme rapport l’une AT II, 536
à l’autre, que lors qu’elles sont considerées au regard d’un temps égal.
Ie ne sçache point avoir receu cy-devant aucune Lettre de Monsieur de Bessy à laquelle ie n’aye fait réponse ; et quant à ce qu’il mande dans celle qu’il vous a écrite, ie n’ay autre chose à dire, sinon qu’il est vray que ie me suis mépris faute d’attention. Car ayant trouvé d’abord tout ce qui me sembloit contenir de la difficulté dans la question, qui estoit de donner autant d’ellypses rationelles qu’on voudroit, qui eussent une même ligne pour plus grand diametre, et ayant d’autres pensées en l’Esprit, ie ne me suis pas arresté à considerer toutes les exceptions qu’il falloit faire, afin que cette ligne ne servist point à plus grand nombre d’ellypses qu’à celuy qui seroit demandé, et pensant prendre un biais qui m’en exempteroit, ie me suis trompé. Voicy mon procedé. Prenant a pour le nombre qui exprime la ligne IK, et b pour Clerselier III, 485
celuy qui exprime la ligne IC, i’ay trouvé que DC devoit estre necessairement 
et FL estre 
. En suitte de quoy il m’a esté aisé de voir quels nombres ie devois prendre pour a, et pour b, afin que fust un nombre rationel, et que DC pût estre expliqué en autant de diverses façons par qu’on auroit demandé d’ellypses. Mais pour ce que ie voyois que prenant un nombre quarré, ou double d’un quarré pour DC ou , pouvoit estre une fraction, et que neantmoins FL ou seroit un nombre entier, i’ay AT II, 537
pensé que multipliant DC par 3. ou par quelqu’autre tel nombre qui empeschast qu’il ne fust quarré ou double de quarré, i’exclurois toutes les ellypses qui peuvent naistre de ces fractions ; et c’est en quoy i’ay failly ; Car comme Monsieur de Bessy remarque fort bien, cette multiplication est superfluë, à cause que toutes les autres lignes sont aussi multipliées par 3. Mais c’est une faute si grossiere, que ie m’assure qu’il ne la prendra que pour une beveuë, qui monstre que i’ay eu l’Esprit diverty ailleurs. Et afin qu’il ait dautant plus de raison de m’excuser, ie vous diray qu’il me semble n’avoir pas pris garde à tout non plus que moy : Car premierement, il dit que si DC est un quarré impair, il ne pourra servir à aucune 
ellypse dont les lignes requises s’expriment par nombres entiers. Secondement, et qu’il n’y a aucun nombre qui puisse servir de grand diametre à une ellypse, qui ait les lignes telles qu’on demande, qui ne serve aussi à deux telles ellypses, l’une desquelles aura son petit diametre plus grand que la distance des points brulans, Clerselier III, 486
et l’autre l’aura plus petit. Troisiémement, et que c’est pour cela qu’il a demandé que l’ellypse eust une de ces conditions. Quatriémement, et que ie n’ay point dû pour cela exclure le nombre de 5. Or premierement, si par exemple DC est 25, IK sera 2, IC5, AT II, 538
et FL20. Item, si DC est 289, IK sera 2, IC17, et FL136, et ainsi des autres où il ne trouve que des nombres entiers. Secondement, et ny 25, ny 289 ne servent que chacun à un ellypse ; mais 25 sert à une qui a son plus petit diametre plus grand que la distance de ses points brulans, et 289 sert à une qui l’a moindre. Troisiémement, si bien qu’il n’estoit pas besoin pour ce sujet d’exclure l’une de ces conditions. Quatriémement, et moy i’ay dû exclure le nombre 5 pour resoudre la question aux termes qu’elle estoit proposée. Et il me semble que la meilleure solution est de faire que DC soit un nombre quarré impair, dont la racine ou ses parties se puisse diviser en deux quarrez, autant de fois qu’on demande d’ellypses. Ainsi DC estant le quarré de 629, il servira à quatre ellypses, et non plus, à cause que 629 ne se divise qu’en 4, et 625 ; item en 100 et 529 ; item 37 se divise en 1 et 36 ; Et 17 se divise en 1 et 16, qui font quatre ellypses, et non plus. Et il est aisé à determiner la plus grande et la moindre proportion entre lesquelles doit estre celle de ces quarrez, afin 
que EI soit plus grande que F L, et que neantmoins l’aire de l’ellypse soit plus grande que celle du cercle qui aura EI pour diametre. Mais ie ne voy pas qu’il soit aisé de donner une regle pour trouver un nombre qui se divise ainsi, luy ou ses parties, en AT II, 539
autant de quarrez qu’on voudra, et non plus, si ce n’est qu’apres en avoir trouvé autant qu’il faut, on en oste ceux qui s’y trouveront de plus Clerselier III, 487
en tâtonnant : Il m’enseignera, s’il luy plaist, si ie me trompe ; Et cependant ie demeure son tres-humble serviteur.
Ie reviens aux Livres que vous m’avez envoyez, desquels ie vous remercie, et vous prie de remercier de ma part ceux qui vous les ont donnez pour moy. Ie n’ay encore eu aucun temps pour les lire, ce qui est cause que ie ne vous en puis rien dire à cette fois.
Ie suis,
MON R. P.
Vostre tres-humble et tres-obeïssant serviteur, DESCARTES. Du 30. Avril 1639.